Sum/difference of two $n^{th}$ powers
The above factorization of differences of powers can be extended to any positive integer power n by use of the geometric series. By noting that
$x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1=\frac{x^n-1}{x-1}$
and multiplying by the (x − 1) factor, the desired result is found. To give the general form as above, we can replace x by a/b and multiply both sides by bn. This gives the general form for the difference of two $n^{th}$ powers as
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+ba^{n-2}+b^2a^{n-3}+...+b^{n-2}a+b^{n-1})$
The corresponding sum of two nth powers depends on whether n is even or odd. If n is odd, b can be replaced by −b in the above formula, to give
$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-ba^{n-2}+b^2a^{n-3}-...-b^{n-2}a+b^{n-1})$
รู้สึกส่วนหลังนี่มันไม่ชัดเจนในเหตุผลเท่าไร (หรือไม่เข้าใจเอง?)
อยากจะทราบแนวทางพิสูจน์เลย หรือ จะยกบทพิสูจน์มาไว้ให้เลยก็ได้นะครับ
เพราะตอนนี้กำลังทำโครงงานครับ ต้องใช้สูตรนี้ เลยอยากให้มีพิสูจน์ความถูกต้องด้วยครับ
ขอบคุณครับ
