อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
6. ถ้า $$x^{300}+\frac{1}{x^{300}}=\sqrt3$$ แล้ว \[x^{30000}+\frac{1}{x^{30000}}\] มีค่าเท่าใด
|
$\displaystyle{ x^{300}+\frac{1}{x^{300}} = \sqrt{3} \Rightarrow x^{600}+\frac{1}{x^{600}} = (x^{300}+\frac{1}{x^{300}})^2 - 2 = 1 }$
ให้ $\displaystyle{ y=x^{600} }$ จะได้ว่า $\displaystyle{ y+\frac{1}{y} = 1 }$
ให้ $\displaystyle{ a_n = y^n+\frac{1}{y^n} }$
จะได้ว่า
$\displaystyle{ a_{n+1} = (y^n+\frac{1}{y^n})(y+\frac{1}{y}) - (y^{n-1}+\frac{1}{y^{n-1}}) = a_n - a_{n-1} }$ สำหรับ $n\geq 2$
เราทราบว่า
$\displaystyle{a_1 = 1,a_2=-1,a_3=-2,a_4=-1,a_5=1,a_6=2}$ และ
$\displaystyle{ a_{n+6} = a_{n+5} - a_{n+4} = - a_{n+3} = a_{n+1} - a_{n+2} = a_n}$
ดังนั้น
$a_{50} = a_{44} = a_{38} = a_{32} = a_{26} = a_{20} = a_{14} = a_8 = a_2 = - 1$
เพราะฉะนั้น $\displaystyle{x^{30000}+\frac{1}{x^{30000}} = -1}$
