อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ art_clex
Prove that :
$\sqrt{n}^\sqrt{n+1} > \sqrt{n+1}^\sqrt{n}$ for all $n>8$
|
$\sqrt{n}^\sqrt{n+1} > \sqrt{n+1}^\sqrt{n}$
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
$n^{\sqrt{n+1}}>(n+1)^{\sqrt{n}}$
ยกกำลัง $\sqrt{n}$ ทั้งสองข้าง
$n^{\sqrt{n+1}\sqrt{n}}>(n+1)^{n}$
หารด้วย $n^n$ ทั้งสองข้าง
$n^{\sqrt{n+1}\sqrt{n}-n}>\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$
จากสมบัติของ $e$ เราได้ว่า
$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}<e<3$
ดังนั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$n>3^{2+\frac{2}{n}}>3^{\frac{1}{\sqrt{n^2+n}-n}}$ ซึ่งเป็นจริงทุก $n\geq 10$
สำหรับ $n=7,8,9$ ต้องออกแรงเองครับ
Reference:
Five Hundred Mathematical Challenges