2. NT
แนวคิดต่อไปนี้ เอามาจาก shortlist TMO 8 ครับ
ให้ m,n เป็นจำนวนนับมากกว่า 1
สมมติ $ \ m \phi (m) = n\phi(n)$
ให้$ \ m = p_1^{i_1}p_2^{i_2}..p_r^{i_r} \ , \ n = q_1^{j_1}q_2^{j_2}..q_s^{j_s}$ เป็นการเขียน m และ n ใน รูปแบบบัญญัติ
$\because m \phi (m) = n\phi(n)$
$\therefore m^2(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})...(1-\dfrac{1}{p_r}) = n^2(1-\dfrac{1}{q_1})(1-\dfrac{1}{q_2})...(1-\dfrac{1}{q_s})$
$p_1^{2i_1+1}p_2^{2i_2+1}...p_r^{2i_r+1}(p_1-1)(p_2-1)...(p_r-1) = q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_s^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_s-1)$
จากนั้นก็พิสูจน์ว่า $p_r = q_s, i_r = j_s$ แล้วก็ induction เอาครับ
ก็จะสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ยากว่า $m=n$
วิธีแบบ #16 ผมว่าไม่ออกนะครับ