[แม่ให้บุญมา]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ผมชอบข้อนี้มากเลย ถ้าใครรู้จัก Cauchy Equation จะมองออกทันที

Solution ธรรมดา

แทน $x=y$ ในสมการพบว่า $f(2x)=2f(x)+4x^2$

ดังนั้น $f(4x)=2f(2x)+16x^2=4f(x)+24x^2$

ทำให้ $f(20)=4f(5)+24 \cdot 25$ เก็บเอาไว้ก่อน

$f(5)=f(1)+f(4)+4(1)(4)=f(4)+20$

แต่ $f(4)=4f(1)+24(1)^2=40$ ดังนั้น $f(5)=60$

ตัวที่เก็บไว้ก็จะได้ต่อว่า $f(20)=240+600=840$ #

Solution โดยใช้สมการโคชี

สร้าง $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}$ นิยามโดย $g(x)=f(x)-2x^2$

จากสมการเดิมจึงได้ $g(x+y)=g(x)+g(y)$ ดังนั้น $g(x)=cx$ สำหรับบาง $c\in\mathbb{Z}$

ทำให้ $f(x)=2x^2+cx$ แล้วแทนเงื่อนไข $f(1)=4$ ได้ $f(x)=2x^2+2x$

ดังนั้น $f(20)=2(400)+2(20)=840$ #

ผมลองอีกวิธีหนึ่งครับ
ถ้าสมมุติให้ f(x)=Ax²+Bx+C แทนค่า x ด้วย x+1 จะได้
f(x+1)-f(x)=2Ax+(A+B) เทียบสัมประสิทธิ์กันกับ
f(x+1)-f(x)= 4x+ 4 ที่ได้จากการแทนค่า y=1 จะได้ A=2, B=2 และแทนค่า
f(1)=4=2x1²+2x1+C จะได้ C=0
แล้วจะได้สมการทั่วๆไปเป็น f(x)= 2x²+2x

แต่ Cauchy Equation ก็น่าสนใจศึกษาไว้เหมือนกันครับ คงต้องไปหาอ่านเพิ่มเติม