นี่ข้อสอบของเด็กม.ต้นจริงๆเหรอครับ แต่ละข้อทำผมอึ้งไปหลายนาทีเลยครับ
10. My Solution :
แนวคิด : เวลาเจอโจทย์อสมการ สิ่งแรกที่ควรทำคือเช็คเงื่อนไขของสมการครับว่าจะเกิดขึ้นเมื่อไหร่ สิ่งนี้จะนำไปสู่กระบวนการคิดและการเลือกอสมการสำเร็จรูป (AM-GM, Cauchy-Schwarz, Holder, etc) มาใช้ในการแก้ปัญหาได้อย่างเหมาะสมครับ ส่วนใหญ่อสมการที่มีสมมาตรในตัวแปรหรือตัวแปรวนซ้ำกันอย่างข้อนี้สมการมักจะเกิดเมื่อตัวแปรทุกตัวมีค่าเท่ากันครับ ซึ่งถ้าโจทย์มีตัวเลือกมาให้เราแทบจะไม่ต้องคิดต่อเลย
ลองดูวิธีพิสูจน์ข้อนี้แบบเต็มๆครับ
กำหนดให้
$$\displaystyle{ A = \frac{a_1^2}{a_1+a_2} + \frac{a_2^2}{a_2+a_3} + \cdots + \frac{a_n^2}{a_n+a_1}}$$
$$\displaystyle{ B = \frac{a_2^2}{a_1+a_2} + \frac{a_3^2}{a_2+a_3} + \cdots + \frac{a_1^2}{a_n+a_1}}$$
เราจะได้ว่า (อันนี้คือหัวใจสำคัญของโจทย์ข้อนี้ครับ
)
$$\begin{array}{rcl} A - B & = & \displaystyle{\frac{a_1^2-a_2^2}{a_1+a_2} + \frac{a_2^2-a_3^2}{a_2+a_3} + \cdots + \frac{a_n^2-a_1^2}{a_n+a_1}} \\ & = & (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots + (a_n-a_1) \\ & = & 0 \end{array} $$
ดังนั้น $\displaystyle{ A=B=\frac{1}{2} }$
ต่อไปเราจะใช้อสมการต่อไปนี้ $$\displaystyle{\frac{x^2+y^2}{x+y}\geq \frac{x+y}{2}}$$ สำหรับจำนวนจริงบวก $x,y$ ใดๆ ซึ่งพิสูจน์ได้ไม่ยากครับ และสมการจะเกิดขึ้นเมื่อ $x=y$
ดังนั้นจะได้ว่า
$$\begin{array}{rcl} A+B & = & \displaystyle{ \frac{a_1^2+a_2^2}{a_1+a_2} + \frac{a_2^2+a_3^2}{a_2+a_3} + \cdots + \frac{a_n^2+a_1^2}{a_n+a_1} } \\ & \geq & \frac{a_1+a_2}{2} +\cdots+\frac{a_n+a_1}{2} \\ & = & a_1+a_2+\cdots + a_n \end{array} $$
และสมการเกิดเมื่อ $a_1=a_2=\cdots = a_n$
แต่เราทราบว่า $A+B = 1$ และ $a_1+a_2+\cdots + a_n = 1$
ดังนั้น $A+B = a_1+a_2+\cdots + a_n $
เราจึงได้ว่า $\displaystyle{ a_1=a_2=\cdots = a_n=\frac{1}{n} }$
แทนค่าเราจะได้ $\displaystyle{ a_1 + a_2^2 + \cdots + a_n^n = \frac{n^n-1}{n^n(n-1)}}$
