[จูกัดเหลียง]

กำหนด $c$ เป็นจำนวนตรรกยะ
จงแสดงว่า $x^3-3cx^2-3x+c$ มีรากเป็นจำนวนตรรกยะอย่างมากหนึ่งตัว

ไม่เเน่ใจนะครับ
สมมุติว่ามีรากตรรกยะ $3$ ราก ที่ชื่อ $x_1,x_2,x_3\in\mathbb{Q}$
ดังนั้น $x_1+x_2+x_3=3c,x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-3,x_1x_2x_3=-c$
กรณีที่ $c>0$ ได้ว่า มีสองตัวใดๆที่เป็นบวกเเละอีกหนึ่งตัวเป็นลบ เพียงกรณีเดียวที่สอดคล้องสมการข้างต้น
โดยไม่เสียนัยให้ $x_1,x_2>0>x_3$ ดังนั้นโดย Cauchy จึงได้ว่า $$\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}{x_1x_2x_3}=\frac{3}{c}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\ge \frac{4}{3c-x_3}+\frac{1}{x_3}=\frac{3x_3+3c}{x_3(3c-x_3)}$$ นั่นคือ $$\frac{x_3+c}{x_3(3c-x_3)}\le \frac{1}{c}\leftrightarrow (x_3-c)^2\le 0\therefore x_3=c$$
ซึ่งขัดเเย้ง เพราะ $0<c=x_3<0$
กรณีที่ $c<0$ สมมุติได้ว่า $x_1,x_2<0<x_3$ จาก $$\frac{3}{c}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}<\frac{1}{x_3}\rightarrow x_3<c/3$$ เเต่ $x_1+x_2+x_3=3c<x_3$ ดังนั้น $3c<x_3<c/3$ ขัดเเย้ง
เเละกรณีที่ มีรากตรรกยะ 2 รากก็เห็นได้ชัดว่าเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น มี $x\in\mathbb{Q}$ ไม่เกิน(อย่างมาก) 1 ตัวที่สอดคล้อง