[Mastermander]

5. จะแสดงว่า $$\prod_{n=2}^\infty(1-\frac1{n^2})=\frac12 $$
$$\prod_{n=2}^N(\frac{n-1}{n})\prod_{n=2}^N(\frac{n+1}{n})$$
\[
\left( {\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot ... \cdot \frac{{N + 1}}{N}} \right)\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot ... \cdot \frac{{N - 1}}{N}} \right) = \frac{{N + 1}}{{2N}}
\]
\[
\prod\limits_{n = 2}^\infty {\left( {1 - \frac{1}{{n^2 }}} \right)} = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \frac{{N + 1}}{{2N}} = \frac{1}{2}
\]
เพราะว่าทุกตัวคูณที่มีค่าน้อยกว่าหนึ่ง เมื่อเราคูณเข้าไปกับจำนวนจริงบวกใดๆแล้วทำให้จำนวนนั้นมีค่าน้อยกว่าเดิม (ดังนั้นเราหารออกจึงมีค่ามากกว่าเดิม)
ดังนั้นถ้าเราเลือกมาเพียง 2006 ตัว ค่าที่ได้จึงมากกว่า $\frac12$