แอบแป๊ก...
อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
3 (A) Calculate $$ \prod_{i=1}^{29} (\sqrt{3}+\tan i^{\circ}) $$
|
$$(\sqrt{3}+\tan 1^{\circ})(\sqrt{3}+\tan 2^{\circ})(\sqrt{3}+\tan 3^{\circ})....(\sqrt{3}+\tan 29^{\circ}) $$
$$(\sqrt{3}+\tan 1^{\circ})(\sqrt{3}+\tan 29^{\circ}) = 3 + \sqrt{3}(\tan 1^{\circ}+
\tan 29^{\circ})+\tan 1^{\circ}\tan 29^{\circ} $$
$$ \tan (1+29)^{\circ} = \frac{\tan 1^{\circ}+\tan 29^{\circ}}{1-\tan 1^{\circ}\tan 29^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{ 3}} --> \sqrt{3}(\tan 1^{\circ}+
\tan 29^{\circ}) = 1-\tan 1^{\circ}\tan 29^{\circ}$$
ดังนั้น $$(\sqrt{3}+\tan 1^{\circ})(\sqrt{3}+\tan 29^{\circ}) = 4$$
เมื่อจับคู่ 1~29 , 2~28 , .... , 14~16 ซึ่งจะได้ทั้งหมด 14 คู่ แล้วเหลือ 15 ที่ไม่มีคู่
แต่ $$ \sqrt{3} +\tan 15^{\circ} = \sqrt{3} + (2 - \sqrt{3}) = 2 $$
ดังนั้น $$ \prod_{i=1}^{29} (\sqrt{3}+\tan i^{\circ}) = 4^{14}*2 = 2^{29} $$