อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
9. หาฟังก์ชัน 1-1 ทั่วถึง $ f :[0,1) \rightarrow (0,1) $ โดย $ f(x) \neq x $ for infinitely many x
|
$\displaystyle{f(x) = \cases{\frac{1}{2} & , x = 0 \cr \frac{1}{n+1} & , x = \frac{1}{n} \cr x & , \text{otherwise}}}$
จริงๆแล้วเราสามารถพิสูจน์ได้ครับว่า
ทุกฟังก์ชัน $f:[0,1)\to (0,1)$ ที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง จะสอดคล้องคุณสมบัติที่ว่า $f(x)\neq x$ เป็นจำนวนอนันต์เสมอ
Proof :
สมมติว่า $A=\{x\in [0,1) : f(x)\neq x\}$ เป็นเซตจำกัด
สังเกตว่า $0\in A$ ดังนั้น $A$ ไม่เป็นเซตว่าง
เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เราจะได้ว่า $f(A)\subseteq A$ และ $f_{|A}$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
แต่ $A$ เป็นเซตจำกัด เราจะได้ว่า $f_{|A}$ ต้องเป็นฟังก์ชันทั่วถึงด้วย
ดังนั้นจะต้องมีจุดใน $A$ ที่ส่งไปหา 0 ซึ่งขัดแย้ง
