[nongtum]

ข้อหกทำให้ิถึกน้อยลงกว่านี้ได้ครับ มีแนวคิดดังนี้

เพราะ $A = 1^{2002}\cdot 2^{1001} \cdot 3^{1000} \cdot 4^{999}\cdots 1002^1$
$B = (1003!)^{1003} \cdot 1004^{1003} \cdot1005^{1002} \cdot 1006^{1001}\cdots2006^{1} $
กำจัดเทอมที่มีเลขกำลังคู่ทิ้งไปให้หมด ส่วนตัวกำลังเป็นคี่ ดึงออกมาหนึ่งตัว แล้วกำจัดกำลังคู่ที่ดึงออกทิ้ง ก็จะได้
$A_{\text{new}}=2\cdot4\cdots1002$ และ $B_{\text{new}}=1003!\cdot1004\cdot1006\cdots2006$
ดึงสองออกจากเลขคู่แต่ละตัวอีกรอบ แล้วจับคูณกัน จะเห็นว่าได้สองมา 1003 ตัว และ 1003!
เอาสองคูณเข้าไปอีกตัว เลขชี้กำลังของสองและ 1003! ก็จะเป็นเลขคู่ เป็นอันเสร็จพิธี

4. สำหรับ $x,y>0$ เนื่องจาก $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\ge (\frac{x^2+y^2}{2})(x+y)$$ ดังนั้น $$\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\frac{x+y}2$$
เอาไป apply กับเทอมในโจทย์ จะได้ $$\frac{a_1^3+a_2^3}{a_1^2 +a_2^2}+\frac{a_2^3+a_3^3}{a_2^2 +a_3^2}+ \cdots +\frac{a_n^3+a_1^3}{a_n^2 +a_1^2} \ge \sum a_i=1$$ ดังนั้นเพียงพอที่จะแสดงว่้า $$A:=\frac{a_1^3}{a_1^2 +a_2^2}+\frac{a_2^3}{a_2^2 +a_3^2}+ \cdots +\frac{a_n^3}{a_n^2 +a_1^2}=
\frac{a_2^3}{a_1^2 +a_2^2}+\frac{a_3^3}{a_2^2 +a_3^2}+ \cdots +\frac{a_1^3}{a_n^2 +a_1^2}=:B$$
พิจารณา $$\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}=(x-y)(1+\frac{xy}{x^2+y^2})\le\frac32(x-y)$$
และ $$\frac{y^3-x^3}{x^2+y^2}=(y-x)(1+\frac{xy}{x^2+y^2})\le\frac32(y-x)$$
apply กับ $a_i$ จะได้ $A-B\le0$ และ $B-A\le0$ นั่นคือ $A=B$