อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
4. ดังนั้นเพียงพอที่จะแสดงว่้า $A = B$ เมื่อ
$$A:=\frac{a_1^3}{a_1^2 +a_2^2}+\frac{a_2^3}{a_2^2 +a_3^2}+ \cdots +\frac{a_n^3}{a_n^2 +a_1^2}$$
$$B:= \frac{a_2^3}{a_1^2 +a_2^2}+\frac{a_3^3}{a_2^2 +a_3^2}+ \cdots +\frac{a_1^3}{a_n^2 +a_1^2}$$
พิจารณา $$\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}=(x-y)(1+\frac{xy}{x^2+y^2})\le\frac32(x-y)$$
และ $$\frac{y^3-x^3}{x^2+y^2}=(y-x)(1+\frac{xy}{x^2+y^2})\le\frac32(y-x)$$
apply กับ $a_i$ จะได้ $A-B\le0$ และ $B-A\le0$ นั่นคือ $A=B$
|
$A\neq B$ ครับ
ให้ $\displaystyle{ x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{3},z=\frac{1}{6} }$ จะได้ว่า
$\displaystyle{A = \frac{x^3}{x^2+y^2} + \frac{y^3}{y^2+z^2} + \frac{z^3}{z^2+x^2} = \frac{491}{780} }$
$\displaystyle{ B = \frac{y^3}{x^2+y^2} + \frac{z^3}{y^2+z^2} + \frac{x^3}{z^2+x^2} = \frac{457}{780} }$
ผมว่าอสมการต่อไปนี้ไม่จริงครับ เลยเกิดปัญหา
$\displaystyle{ (x-y)(1+\frac{xy}{x^2+y^2})\le\frac32(x-y) }$
$\displaystyle{ (y-x)(1+\frac{xy}{x^2+y^2})\le\frac32(y-x) }$
เพราะเราไม่รู้ว่า $x-y\geq 0$ หรือไม่ ซึ่งถ้าเราแก้โดยการสมมติให้ $x\geq y$
ก็ยังไม่ได้อยู่ดีเพราะเราจะได้ว่า $y-x\leq 0$ ซึ่งจะทำให้อีกอสมการหนึ่งไม่จริง
