มาเก็บตก อีกครั้งครับ
(II) Solutions
3(B) ให้ S คือผลลัพธ์ที่ต้องการ
$$ \begin{array}{rcl} \sin 1^{\circ}\cdot S &=& \frac{\sin 1^{\circ}}{\cos 0^{\circ} \cos 1^{\circ}}+\frac{\sin 1^{\circ}}{\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ}}+\cdots +\frac{\sin 1^{\circ}}{\cos 88^{\circ} \cos 89^{\circ}} \\ &=& \tan 1^{\circ}+ \frac{\sin 2^{\circ}\cos 1^{\circ}-\sin 1^{\circ}\cos 2^{\circ}}{\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ}}+\cdots +\frac{\sin 89^{\circ}\cos 88^{\circ}-\sin 88^{\circ} \cos 89^{\circ}}{\cos 88^{\circ} \cos 89^{\circ}} \\ &=& \tan 1^{\circ}+ (\tan 2^{\circ}- \tan 1^{\circ} )+\cdots (\tan 89 ^{\circ}- \tan 88^{\circ})
\end{array} $$
ดังนั้น $ S= \frac{\tan 89^{\circ}}{\sin 1^{\circ}} =\frac{\cos 1^{\circ}}{\sin^2 1^{\circ}} $
ข้อ 8 ,11 เดี๋ยวกลางอาทิตย์หน้าจะ scan รูปข้อ 8 กับกราฟข้อ 11 มาให้ดูครับ หรือใครอยากเฉลย 2 ข้อนี้ไปก่อน ก็ตามสบายเลยนะครับ
ข้อ 13
เห็นได้ชัดว่า k เป็นจำนวนอตรรกยะ
นอกจากนี้ สำหรับ จำนวนนับ n ใดๆ
$ kx_{n-1} -1 < x_n < kx_{n-1} \Rightarrow \frac{x_n}{k}< x_{n-1}< \frac{x_n}{k}+\frac{1}{k}$
ดังนั้น $ \lfloor \frac{x_n}{k} \rfloor = x_{n-1}-1 $
จากสมการที่โจทย์กำหนด ทำให้ $ kx_n = (2550 + \frac{1}{k})(x_n) = 2550x_n + \frac{x_n}{k} $
ดังนั้น $ x_{n+1}= \lfloor kx_n \rfloor = 2550x_n + x_{n-1}-1 \equiv x_{n-1}-1 \pmod {2550} $
นั่นคือ $ x_{2550} \equiv x_0-1275 \equiv -1274 \pmod {2550} \equiv 1276 \pmod {2550} $
ดังนั้น ข้อนี้ตอบ 1276 ครับ
p.s. ก็ต้องขอบคุณน้องๆทั้ง 3 คน ที่สละเวลาอันมีค่ามาแจมใน โครงการ 2 นี้ครับ แม้ว่า บางคนจะติดสอบ บางคนก็ใกล้จะไปเขาชนไก่ อย่างน้อย ก็จุดประกาย ทำให้ผมอยากหาอะไรมาแจกอีกในปีต่อๆไป ไม่ว่าจะมีคนเล่นกี่คนก็ตาม