อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133
ให้ $z_1,z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $z_1^2-4z_2=12+16i$ และกำหนดให้ $a,b$ เป็นรากของสมการ
$x^2+z_1x+z_2+m=0$ สำหรับบางจำนวนเชิงซ้อน $m$ และ $|a-b|=2\sqrt7$ แล้วจงหาค่าสูงสุดของ $|m|$
|
ก็ว่าคุ้นๆ ข้อสอบค่ายสองปีล่าสุดนี่นา
จากที่ $a,b$ เป็นรากสมการ $x^2+z_1x+z_2+m=0$
ดังนั้น
$$a+b=-z_1$$
$$ab=z_2+m$$
ทำให้ $$12+16i=z_1^2-4z_2=(a+b)^2-4ab+4m$$
$$(a-b)^2=12+16i-4m$$
$$|a-b|^2=|12+16i-4m|$$
$$28=|12+16i-4m|$$
$$7=|3+4i-m|$$
$$7=|m-(3+4i)|$$
เมื่อพิจารณาในเชิงของเรขาคณิตวิเคราะห์มันก็คือสมการวงกลม
ดังนั้นเซตคำตอบของ $m$ บนระนาบเชิงซ้อนก็คือจุดบนวงกลมรัศมี $7$ ที่มี $(3,4)$ เป็นจุดศูนย์กลาง
โดยเราต้องการหาว่าจุดใดที่ห่างจากจุด $(0,0)$ มากที่สุด
ซึ่งก็คือจุดที่อยู่บนเส้นที่ลากจาก $(0,0)$ ผ่าน $(3,4)$ ไปตัดเส้นรอบวง โดยจุดนั้นอยู่ตรงข้ามกับ $(0,0)$ เทียบกับ $(3,4)$ (ในควอตแรนท์ที่ 1)
จะได้ระยะทางเป็น $\sqrt{3^2+4^2}+7=12$ #