ทำไมช่วงนี้ดูเงียบเหงาจัง สงสัยเป็นช่วงก่อน TMO ล่ะมั้ง
เฉลยของผมเรียงตาม Longlist
________________________________________________________________________________
ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันแยกคูณไม่เป็นฟังก์ชันศูนย์แล้ว ฟังก์ชัน $F$ ซึ่งนิยามโดย
$$F(n)=\sum_{d|n} f(d)$$
ก็เป็นฟังก์ชันแยกคูณด้วย
พิสูจน์ : เนื่องจาก $f$ ไม่เป็นฟังก์ชันศูนย์ ดังนั้น $f(1)=1$ เสมอ และทำให้ $F(1)=1$
กำหนดจำนวนนับ $x,y>1$ โดยที่ $(x,y)=1$
ดังนั้น สำหรับจำนวนนับ $d$ ซึ่ง $d|xy$ จะมีคู่อับ $(d_1,d_2)$ เพียงคู่เดียวที่ $d=d_1d_2$ และ $d_1|x$ และ $d_2|y$ ซึ่ง $(d_1,d_2)=1$ เสมอ
แสดงว่า
$$F(xy) = \sum_{d_1d_2|n} f(d_1d_2)$$
$$F(xy) = \sum_{d_1|n, \, d_2|n} f(d_1)f(d_2)$$
$$F(xy) = \sum_{d_1|n} f(d_1) \sum_{d_2|n} f(d_2)$$
$$F(xy) = F(x)F(y)$$
ดังนั้น $F$ ก็เป็นฟังก์ชันแยกคูณ #
________________________________________________________________________________
$\nu$ เป็นฟังก์ชันแยกบวก
พิสูจน์ : ให้ $x=p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ และ $y=q_1^{b_1}q_2^{b_2} \cdots q_l^{b_l}$
แทนการเขียนในรูปแบบัญญัติของ $x,y$ โดยที่ $(x,y)=1$ (นั่นคือ $p_1,p_2,...,p_k,q_1,q_2,...q_l$ แตกต่างกันหมด)
แสงดว่า $\nu (xy) = k+l = \nu (x) + \nu (y)$
นั่นคือ $\nu$ เป็นฟังก์ชันแยกบวก #
________________________________________________________________________________
กำหนดให้
$$F(n)=\sum_{d|n} m^{\nu (d)}$$
โดย Lemma 2 ได้ว่า $\nu$ เป็นฟังก์ชันแยกบวก ดังนั้น $m^{\nu (n)}$ เป็นฟังก์ชันแยกคูณ
และโดย Lemma 1 ส่งผลให้ $F$ เป็นฟังก์ชันแยกคูณด้วย
จึงเป็นการเพียงพอทีจะหาค่าของ $F(p^a)$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ
นอกจากนี้ยังได้ว่า $\nu (d)=1$ เสมอ สำหรับ $d|p^a$ และ $d>1$
$$F(p^a) = \sum_{d|p^a} m^{\nu (d)}$$
$$F(p^a) = m^0+\underbrace{m^1+m^1+\cdots+m^1}_{a}$$
$$F(p^a) = ma+1$$
ดังนั้น ถ้าให้ $n=p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ แทนการเขียนในรูปแบบบัญญัติ
จะได้ว่า
$$F(n)=F(p_1^{a_1})F(p_2^{a_2}) \cdots F(p_k^{a_k})$$
$$F(n)=(ma_1+1)(ma_2+1) \cdots (ma_k+1)$$
ในขณะที่
$$\tau (n^m)=(ma_1+1)(ma_2+1) \cdots (ma_k+1)$$
ดังนั้น
$$\tau (n^m) = \sum_{d|n} m^{\nu (d)}$$ #
________________________________________________________________________________
ถ้า $A \equiv B \pmod{n}$ แล้ว $\det (A) \equiv \det (B) \pmod{n}$
พิสูจน์ : โดยนิยามของเมตริกซ์ไมเนอร์, ถ้า $A \equiv B \pmod{n}$ แล้ว
การตัดแถว,หลักที่ตำแหน่งเดียวกันของ $A,B$ ย่อมไม่มีผลต่อตำแหน่งอื่นของสมาชิกในเมตริกซ์ไมเนอร์
ดังนั้น $M_{ij} (A) \equiv M_{ij} (B) \pmod{n}$
ต่อไปจะพิสูจน์โดยการใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
ให้ $P(k)$ คือข้อความ "สำหรับเมตริกซ์ $A,B$ มิติ $k \times k$ ใดๆ
ถ้า $A \equiv B \pmod{n}$ แล้ว $\det (A) \equiv \det (B) \pmod{n}$"
พิจารณาเมตริกซ์ $A,B$ มิติ $1 \times 1$ พบว่า
$\det (A)=a_{11} \equiv b_{11} = \det (B) \pmod{n}$
ดังนั้น $\det (A) \equiv \det (B) \pmod{n}$
พิจารณาเมตริกซ์มิติ $2 \times 2$ พบว่า
$\det (A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \equiv b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21} = \det (B) \pmod{n}$
ดังนั้น $\det (A) \equiv \det (B) \pmod{n}$
ดังนั้น $P(1),P(2)$ เป็นจริง
ต่อไปสมมติให้ $P(k)$ เป็นจริง จะแสดงว่า $P(k+1)$ ก็เป็นจริง
กำหนดให้เมตริกซ์ $A,B$ มีมิติ $(k+1) \times (k+1)$
เราได้แสดงไว้แล้วว่า $M_{ij} (A) \equiv M_{ij} (B) \pmod{n}$
แต่ทั้ง $M_{ij} (A),M_{ij} (B)$ ต่างเป็นเมตริกซ์มิติ $k \times k$
ดังนั้น $\det (M_{ij} (A)) \equiv \det (M_{ij} (B)) \pmod{n}$
จากนิยาม $\det (A) = \sum (-1)^{i+j} a_{ij} \det (M_{ij} (A))$
ก็จะได้ว่า $\det (A) \equiv \det (B) \pmod{n}$
ดังนั้น $\det (A) \equiv \det (B) \pmod{n}$ เป็นจริงสำหรับเมตริกซ์ $A,B$ มิติ $m \times m$ ใดๆ #
________________________________________________________________________________
$(a,n)=1$ ก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็ม $a^{-1}$ ซึ่ง $a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{n}$
และเรียก $a^{-1}$ ว่าเป็น อินเวอร์สมอดุโล $n$
พิสูจน์ : $(\Rightarrow)$ จาก $(a,n)=1$
จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม $x,y$ ซึ่ง $ax+by=1$ นั่นคือ $ax \equiv 1 \pmod{n}$
$(\Leftarrow)$ จาก $ab \equiv 1 \pmod{n}$
แต่ $(1,n)=1$ ดังนั้น $(ab,n)=1$ ด้วย
สมมติว่า $(a,n)=d>1$
ก็จะได้ว่า $(ab,n)=d' \ge d >1$ ขัดแย้งกับที่ได้แสดงไว้
ดังนั้น $(a,n)=1$ #
________________________________________________________________________________
$(\Rightarrow)$ ถ้ามี $B \in \mathbb{Z}^{m \times m}$ ซึ่ง $AB \equiv I \pmod{n}$
โดย Lemma 1 ได้ว่า $\det (AB) \equiv 1 \pmod{n}$
แต่ $(1,n)=1$ ดังนั้น $(\det(AB),n)=1$ ด้วย
สมมติว่า $(\det(A),n)=d>1$
ก็จะได้ว่า $(\det(AB),n)=(\det(A)\det(B),n)=d' \ge d >1$ ขัดแย้งกับที่ได้แสดงไว้
ดังนั้น $(\det(A),n)=1$ #
$(\Leftarrow)$ ถ้า $(\det(A),n)=1$ แสดงว่ามีจำนวนเต็ม $x,y$ ซึ่ง $\det(A) x + ny =1$
ดังนั้น $\det(A) I \cdot x + nyI \equiv I$
แต่ $A \cdot adj(A) = \det(A)I$
$A (x \cdot adj(A)) +nyI=I$
นั่นคือ $A (x \cdot adj(A)) \equiv I \pmod{n}$
แสดงว่ามีเมตริกซ์ $B=x \cdot adj(A)$ ซึ่ง $AB \equiv I \pmod{n}$ #
เนื่องจาก $A \cdot adj(A) = adj(A) \cdot A = \det(A) I$
ดังนั้น $adj(A) \cdot A \equiv \det(A) I \pmod{n}$
ให้เมตริกซ์ $A^{-1}$ แทนเมตริกซ์อินเวอร์สมอดุโล $n$, กล่าวคือ $A \cdot A^{-1} \equiv I \pmod{n}$
ดังนั้น $\det(A) \cdot A^{-1} \equiv adj(A) \pmod{n}$
และโดย Lemma 2 จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม $(\det(A))^{-1}$ ที่เป็นอินเวอร์สมอดุโล $n$
$\therefore A^{-1} \equiv (\det(A))^{-1} \cdot adj(A) \pmod{n}$ เป็นรูปทั่วไปของอินเวอร์สเมตริกซ์ $A$ มอดุโล $n$ #
จาก $a^2+b^2+c^2=1$
โดย Power mean ได้ว่า $\dfrac{a+b+c}{3} \le \sqrt{\dfrac{1}{3}}$
หรือก็คือ $a+b+c \le \sqrt{3}$
นอกจากนี้, $ab+bc+ca \le \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2$
(สมมูลกับ $ab+bc+ca \le a^2+b^2+c^2$ ซึ่งจริงโดย Cauchy-Schwarz)
ดังนั้น
$$a+b+c+\frac{3}{ab+bc+ca} \ge \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{3}}+\frac{3}{ab+bc+ca}$$
$$a+b+c+\frac{3}{ab+bc+ca} \ge \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{3}}+\frac{9}{(a+b+c)^2}$$
แบ่งก้อนหลังสุดของ RHS เป็นสองก้อนดังนี้
$$a+b+c+\frac{3}{ab+bc+ca} \ge \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{3}}+\frac{3\sqrt{3}}{(a+b+c)^2}+\frac{9-3 \sqrt{3}}{(a+b+c)^2}$$
โดย AM-GM กับสองก้อนแรกใน RHS ได้ว่า
$$a+b+c+\frac{3}{ab+bc+ca} \ge 2 \sqrt{3}+\frac{9-3 \sqrt{3}}{(a+b+c)^2}$$
เนื่องจาก $9-3\sqrt{3}>0$ ดังนั้นจาก $a+b+c \le \sqrt{3}$ จึงได้ว่า
$$a+b+c+\frac{3}{ab+bc+ca} \ge 2 \sqrt{3}+\frac{9-3 \sqrt{3}}{3}$$
$$a+b+c+\frac{3}{ab+bc+ca} \ge 3+\sqrt{3}$$
ค่าต่ำสุดคือ $3+\sqrt{3}$ โดยเกิดเมื่อ $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ #
แบ่งเป็นตารางย่อย $2 \times 2$ ได้ 16 ตารางย่อย
ซึ่งในแต่ละตารางย่อยจะมีจำนวนที่เป็นพหุคูณของ 2 ได้อย่างมาก 1 ตัว (จากเงื่อนไขที่กำหนด)
ดังนั้นจะมีช่องที่เป็นพหุคูณของ 2 ได้อย่างมาก 16 ช่อง
นั่นคือ ช่องที่เหลืออย่างน้อย 64-16=48 ช่องจะต้องเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 2 ซึ่งเป็นได้เพียง 1,3,5,7
โดยหลักรังนกพิราบได้ว่ามีอย่างน้อย $\left\lceil\, \dfrac{48}{4} \right\rceil =12$ ช่องที่เป็นตัวเดียวกัน #
เนื่องจากสมาชิกของ $A$ ต้องอยู่ในรูปของ $p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_n^{a_2}$ เมื่อ $a_1,a_2,...,a_n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}$
แบ่งภาวะคู่คี่ของ $a_1,a_2,...,a_n$ ได้ $2^n$ แบบ เพราะแต่ละตัวเป็นได้สองแบบคือคู่หรือคี่
นั่นคือ เราต้องการเลือก 2 ตัวให้มีภาวะคู่คี่เดียวกัน
(เพราะถ้ามีภาวะเดียวกันแล้ว เลขชี้กำลังของ $p_k$ ใดๆในผลคูณสองตัวนั้นย่อมเป็นเลขคู่ หรือก็คือเป็นกำลังสองสมบูรณ์)
ดังนั้น โดยหลักรังนกพิราบ จำนวนที่เราต้องเลือกก็คือ $x$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งสอดคล้องสมการ $\Big\lceil \dfrac{x}{2^n} \Big\rceil=2$
ซี่งก็คือ $x=2^n+1$ นั่นเอง #
________________________________________________________________________________
อินเวอร์สมอดุโล $n$ ของ $a_1,a_2,...,a_{\phi (n)}$ แตกต่างกันหมด
(อินเวอร์สมอดุโล $n$ ของ $x$ คือจำนวนเต็มเขียนแทนด้วย $x^{-1}$ ซึ่ง $x \cdot x^{-1} \equiv 1 \pmod{n}$)
พิสูจน์ : สมมติว่ามีบางคู่ซึ่งใช้อินเวอร์สร่วมกัน สมมติเป็น $a_i,a_j$ เมื่อ $i \not= j$
นั่นคือ $a_i^{-1} \equiv a_j^{-1} \pmod{n}$
คูณ $a_ia_j$ ได้ว่า $a_j \equiv a_i \pmod{n}$
ขัดแย้งกับที่ $\{ a_1,a_2,...a_{\phi (n)}\}$ เป็น RRS
ดังนั้น อินเวอร์มอดุโล $n$ ของ $a_1,a_2,...,a_{\phi (n)}$ แตกต่างกันหมด #
และส่งผลให้อินเวอร์สของ $a_1,a_2,...,a_{\phi (n)}$ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของตัวเอง
(แปลว่า $a_1^{-1}+a_2^{-1}+\cdots+a_{\phi (n)}^{-1} \equiv a_1+a_2+\cdots+a_{\phi (n)} \pmod{n}$)
________________________________________________________________________________
สำหรับจำนวนนับ $n>2$ ได้ว่า $\phi (n)$ เป็นเลขคู่เสมอ
พิสูจน์ : ถ้าให้ $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ แทนการเขียนในรูปแบบบัญญัติ
เนื่องจาก $\phi (n)=(p_1^{a_1}-p_1^{a_1-1})(p_2^{a_2}-p_2^{a_2-1}) \cdots (p_k^{a_k}-p_k^{a_k-1})$
ดังนั้น ถ้า $n$ มีจำนวนเฉพาะคี่ $p_i$ เป็นตัวประกอบแล้ว แฟคเตอร์ $p_i^{a_i}-p_i^{a_i-1}$ เป็นจำนวนคู่เสมอ และทำให้ $\phi (n)$ เป็นจำนวนคู่
และถ้า $n$ ไม่มจำนวนเฉพาะคี่ แสดงว่า $n=2^k$ เมื่อ $k \ge 2$ และทำให้ $\phi (n)=2^k-2^{k-1}$ เป็นจำนวนคู่ด้วย
ดังนั้น สำหรับ $n>2$ ได้ว่า $\phi (n)$ เป็นเลขคู่เสมอ
________________________________________________________________________________
ถ้า $\{ b_1,b_2,...,b_{\phi (n)} \}$ คือเซต Reduced Residue System (RRS) ที่เป็นบวกน้อยที่สุดของมอดุโล $n$ แล้ว
$b_1+b_2+\cdots+b_{\phi (n)} = \dfrac{n \phi (n)}{2}$
พิสูจน์ : เนื่องจาก $(n-b_i,n)=1$ ด้วย
ดังนั้น $\{n-b_1,n-b_2,...,n-b_{\phi (n)}\}$ ก็เป็น RRS ที่เป็นบวกน้อยสุดของมอดุโล $n$
แสดงว่า $b_1+b_2+\cdots+b_{\phi (n)}=n-b_1+n-b_2+\cdots+n-b_{\phi (n)}$
$b_1+b_2+\cdots+b_{\phi (n)} = \dfrac{n \phi (n)}{2}$ #
________________________________________________________________________________
ให้ $A=a_1a_2a_3 \cdots a_{\phi (n)}$ จะได้ว่า $A \dfrac{a}{b}$ เป็นจำนวนเต็ม
เพราะ $b|[a_1,a_2,...,a_{\phi (n)}]$ และ $[a_1,a_2,...,a_{\phi (n)}]|A$ ซึ่งจะได้ว่า $b|A$ เสมอ
นอกจากนี้ยังได้ว่า
$$A \cdot a_i^{-1} \equiv a_1a_2 \cdots a_{i-1}a_{i+1} \cdots a_{\phi (n)} \equiv \frac{A}{a_i} \pmod{n}$$
$$\therefore A\frac{a}{b} = A \Big( \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_{\phi (n)}} \Big) \equiv A(a_1^{-1}+a_2^{-1}+\cdots+a_{\phi (n)}^{-1}) \pmod{n}$$
แต่โดย Lemma 1 ได้ว่า
$$a_1^{-1}+a_2^{-1}+\cdots+a_{\phi (n)}^{-1} \equiv a_1+a_2+\cdots+a_{\phi (n)} \pmod{n}$$
ถ้า $\{ b_1,b_2,...,b_{\phi (n)} \}$ คือเซต Reduced Residue System (RRS) ที่เป็นบวกน้อยที่สุดของมอดุโล $n$ แล้ว
$$a_1+a_2+\cdots+a_{\phi (n)} \equiv b_1+b_2+\cdots+b_{\phi (n)} \pmod{n}$$
แต่โดย Lemma 3 ได้ว่า
$$b_1+b_2+\cdots+b_{\phi (n)} \equiv \frac{n \phi (n)}{2} \pmod{n}$$
และโดย Lemma 2 ได้ว่า $\dfrac{\phi (n)}{2}$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น
$$n \frac{\phi (n)}{2} \equiv 0 \pmod{n}$$
จากเดิมจึงได้ว่า
$$\frac{A}{b}a \equiv 0 \pmod{n}$$
แต่เพราะ $(A,n)=1$ ดังนั้น $\Big( \dfrac{A}{b} ,n \Big)=1$ ด้วย (เพราะถ้ามากกว่า 1 ก็จะทำให้ $(A,n)>1$ ซึ่งขัดแย้งกัน)
จึงได้ว่า $a \equiv 0 \pmod{n}$
หรือก็คือ $n|a$ #
พิจารณา $x,\, \sqrt{xy},\, y$ เป็นลำดับเรขาคณิต
ในขณะที่ $f(x),\, f(\sqrt{xy}),\, f(y)$ เป็นลำดับเลขคณิต
ดังนั้น เราสมารถเลือกลำดับเรขาคณิตลดโดยแท้ใดๆที่มีค่าของฟังก์ชันเป็นลำดับเลขคณิตลดโดยแท้ได้เรื่อยๆไม่จำกัด
เช่น $1,\, \frac{1}{2},\, \frac{1}{4},\, \frac{1}{8},\, ...$
ซึ่ง $f(1),\, f(\frac{1}{2}),\, f(\frac{1}{4}),\, f(\frac{1}{8}),\, ...$ เป็นลำดับเลขคณิตที่ลดโดยแท้
แต่ลำดับเลขคณิตที่ลดโดยแท้ต้องมีบางสมาชิกซึ่งมีค่าติดลบเสมอ
นั่นคือ มีบางจำนวนจริงบวก $a$ ในลำดับดังกล่าวที่ทำให้ $f(a)<0$ #
จากสมการที่กำหนดให้ สามารถจัดรูปได้เป็น
$$bc=ac+ab+1$$
$$1=\frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{1}{bc}$$
$$1=a \cdot \frac{1}{b} + a \cdot \frac{1}{c} + \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c}$$
เนื่องจาก สำหรับจำนวนจริงบวก $x,y,z$ ใดๆ
$xy+yz+zx=1$ ก็ต่อเมื่อมี $A,B,C \in (0,\pi )$ ซึ่ง $A+B+C=\pi$ และ
$$x=\tan \frac{A}{2}$$ $$y=\tan \frac{B}{2}$$ $$z=\tan \frac{C}{2}$$
ในที่นี้คือ $x=a$, $y=\dfrac{1}{b}$, $z=\dfrac{1}{c}$
ดังนั้น มี $A,B,C \in (0,\pi )$ ซึ่ง $A+B+C=\pi$ และ
$$a=\tan \frac{A}{2}$$ $$b=\cot \frac{B}{2}$$ $$c=\cot \frac{C}{2}$$
เราจึงสามารถจัดรูปของ $P$ ได้เป็น
$$P=4024 \cos^2 \frac{A}{2} - 4024 \sin^2 \frac{B}{2} - 2555 \sin^2 \frac{C}{2}$$
$$P=2012 (1+\cos A) - 2012 (1-\cos B) - 2555 \sin^2 \frac{C}{2}$$
$$P=2012 (\cos A + \cos B) -2555 \sin^2 \frac{C}{2}$$
$$P=4024 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} - 2555 \sin^2 \frac{C}{2}$$
ให้ $p=\sin \dfrac{C}{2}$ และ $q=\cos \dfrac{A-B}{2}$ ได้ว่า
$$P=4024pq-2555p^2$$
$$P=-2555 \Big( p^2-2 \cdot \frac{2012}{2555} pq \Big)$$
$$P=-2555 \Big( p^2-2 \cdot \frac{2012}{2555} pq +\Big( \frac{2012}{2555} \Big)^2 q^2\Big) + \frac{2012^2}{2555}q^2$$
$$P=-2555 \Big( p-\frac{2012}{2555}q \Big)^2 + \frac{2012^2}{2555} q^2$$
ดังนั้น ค่าสูงสุดคือ $P=\dfrac{2012^2}{2555}$ เกิดเมื่อ $p-\dfrac{2012}{2555}q=0$ และ $q=1$
หรือก็คือ
$$\cases{\sin \frac{C}{2}=\frac{2012}{2555} \cr \cos \frac{A-B}{2}=1 }$$
$$\therefore c=\cot \dfrac{C}{2} = \frac{\sqrt{2555^2-2012^2}}{2012}=\frac{\sqrt{543 \cdot 4567}}{2012}$$
และจาก $A=B$ แสดงว่า $ab=1$ แทนกลับสมการเดิมได้ว่า
$$b-a=\frac{2}{c}$$
$$\therefore b+a = \sqrt{\frac{4}{c^2}+4}$$
$$b+a=\frac{2}{c} \cdot \sqrt{1+c^2}$$
$$b+a=\frac{2}{c} \cdot \frac{2555}{2012}$$
แก้ระบบสมการได้
$$b=\frac{1}{c} \cdot \frac{4567}{2012}=\sqrt{\frac{4567}{543}}$$
$$a=\frac{1}{c} \cdot \frac{543}{2012}=\sqrt{\frac{543}{4567}}$$
สรุป :
ค่าสูงสุดคือ
$$P=\frac{2012^2}{2555}$$
เกิดเมื่อ
$$a=\sqrt{\frac{543}{4567}}$$
$$b=\sqrt{\frac{4567}{543}}$$
$$c=\frac{\sqrt{543 \cdot 4567}}{2012}$$
เนื่องจาก $\lfloor a \rfloor \le a$
ดังนั้น $2012 = x \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor \le x^2 \lfloor x \rfloor \le x^3$
$x^3 \ge 2012$
$x > 12$
แต่ถ้าสมมติดว่า $x \ge 13$ ก็จะได้ $\lfloor x \rfloor \ge 13$
$\therefore 2012 = x \lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor \ge13^3 = 2197$ เป็นไปไม่ได้
ดังนั้น $12<x<13$ ทำให้ $\lfloor x \rfloor = 12$ เท่านั้น
สมการเดิมเปลี่ยนเป็น $x \lfloor 12x \rfloor =2012$
นอกจากนี้ จาก $x^3 \ge 2012$ ได้ว่า $x>12.624>12+\dfrac{7}{12}$
ถ้า $12+\dfrac{7}{12}<x<12+\dfrac{8}{12}$
ดังนั้น $\lfloor 12x \rfloor=144+7=151$
ได้ $151x=2012$
$x=\dfrac{2012}{151}>13$
$\therefore$ ในกรณีนี้ไม่มีคำตอบ
ถ้า $12+\dfrac{8}{12} \le x<12+\dfrac{9}{12}$
ดังนั้น $\lfloor 12x \rfloor=144+8=152$
ได้ $152x=2012$
$x=\dfrac{2012}{152}>13$
$\therefore$ ในกรณีนี้ไม่มีคำตอบ
ถ้า $12+\dfrac{9}{12} \le x<12+\dfrac{10}{12}$
ดังนั้น $\lfloor 12x \rfloor=144+9=153$
ได้ $153x=2012$
$x=\dfrac{2012}{153}>13$
$\therefore$ ในกรณีนี้ไม่มีคำตอบ
ถ้า $12+\dfrac{10}{12} \le x<12+\dfrac{11}{12}$
ดังนั้น $\lfloor 12x \rfloor=144+10=154$
ได้ $154x=2012$
$x=\dfrac{2012}{154}>13$
$\therefore$ ในกรณีนี้ไม่มีคำตอบ
ถ้า $12+\dfrac{11}{12} \le x<12+\dfrac{12}{12}$
ดังนั้น $\lfloor 12x \rfloor=144+11=155$
ได้ $155x=2012$
$x=\dfrac{2012}{155}$
โดยที่ $12+\dfrac{11}{12} < \dfrac{2012}{155} < 13$
$\therefore$ ในกรณีมีคำตอบเดียวคือ $x=\dfrac{2012}{155}$
จากทุกกรณี ได้ว่ามีคำตอบเดียวคือ $x=\dfrac{2012}{155}$ #
สามเหลี่ยมสมมติ PQR มีมุม Q เป็นมุมฉาก
ให้เส้นที่ลากจาก Q มาตั้งฉากด้าน PR ยาว h
และด้านประกอบมุมฉากยาว p, r แล้ว
พื้นที่สามเหลี่ยมรูปนี้คือ $\dfrac{1}{2}pr=\dfrac{1}{2} h \cdot \sqrt{p^2+r^2}$
ซึ่งสามารถจัดรูปได้เป็น $\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{r^2}=\dfrac{1}{h^2}$
จากโจทย์ ถ้าให้ $XA=a,\, XB=b,\, XC=c,\, XD=d$
และให้เส้นที่ลากจาก X มาตั้งฉากด้าน AB, BC, CD, DA ยาว $x_1,\, x_2,\, x_3,\, x_4$ แล้ว
จากที่ได้แสดงไว้ตอนแรก สามารถสร้างระบบสมการได้เป็น
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{x_1^2}$$
$$\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{x_2^2}$$
$$\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=\frac{1}{x_3^2}$$
$$\frac{1}{d^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{1}{x_4^2}$$
สังเกตว่า
$$\frac{1}{x_4^2}=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_3^2}-\frac{1}{x_2^2}$$
จากที่โจทย์กำหนด จึงได้ว่า
$$\frac{1}{x_4^2}=\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{73}$$
$$\frac{1}{x_4^2}=\frac{841}{2555}$$
ดังนั้น ความยาวเส้นที่ลากจาก X มาตั้งฉาก DA คือ $x_4=\dfrac{\sqrt{2555}}{29}$ #