[กิตติ]

กําหนดให้ $x_1,x_2,x_3,x_4$ เป็นคําตอบของสมการ

$x^4 - 7x^3 +14x^2 -7x +1 = 0$

$\sqrt{(x_1^4+1)(x_2^4+1)(x_3^4+1)(x_4^4+1)} $

โจทย์น่าจะเป็นอย่างนี้หรือเปล่าครับ

ลองดูจากตรงนี้ครับ
$x^4+1=7x^3-14x^2+7x=7x(x-1)^2$

$\sqrt{(x_1^4+1)(x_2^4+1)(x_3^4+1)(x_4^4+1)} $
$=\sqrt{(7^4)(x_1x_2x_3x_4)(x_1-1)^2(x_2-1)^2(x_3-1)^2(x_4-1)^2} $

$=49\sqrt{x_1x_2x_3x_4}\left|\,(x_1-1)\right| \left|\,(x_2-1)\right| \left|\,x_3-1\right| \left|\,x_4-1\right| $

$x_1x_2x_3x_4=1$
$\left|\,(x_1-1)\right| \left|\,(x_2-1)\right| \left|\,x_3-1\right| \left|\,x_4-1\right|$
$=\left|\,(x_1-1)(x_2-1)(x_3-1)(x_4-1)\right| $
$=\left|\,(x_1x_2+x_3x_4+x_1+x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4)-(x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_1x_3x_4+x_1x_2x_4)-(x_1+x_2+x_3+x_4)+x_1x_2x_3x_4+1\right| $
เรารู้ทุกค่าโดยดูจากสมการที่กำหนด
$x_1+x_2+x_3+x_4=7$
$x_1x_2+x_3x_4+x_1+x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4=14$
$x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_1x_3x_4+x_1x_2x_4=7$

จะได้ว่า $=\left|\,14-7-7+1+1\right| =2 $

$\sqrt{(x_1^4+1)(x_2^4+1)(x_3^4+1)(x_4^4+1)} $
$=49\times 2=98$.......ไม่มีใครท้วงว่าคูณผิดจาก $49\times 2=58$.....ดีนะเห็นเองก่อน

ไม่จำเป็นต้องแก้สมการหาจำนวนเชิงซ้อนทีละค่าก็ได้ครับ ถ้าต้องการแก้เดี๋ยวทำให้ดูก็ได้ครับ
แต่ต้องรู้เรื่องความสัมพันธ์ของรากสมการกับสัมประสิทธิ์ของแต่พจน์ในสมการครับ