[กิตติ]

$\left(\,x^2+x+\frac{1}{2}\right)^2 $ เราจะสรุปว่า กำลังสองจะมีค่าน้อยที่สุดคือ $0$ ได้เมื่อมีค่า $x$ ที่ทำให้ $\left(\,x^2+x+\frac{1}{2}\right) $ เท่ากับศูนย์ สมการนี้มีค่า $x$ ที่ทำให้เกิดสมการเป็นศูนย์หรือไม่ ก็พิจารณาจากค่าDiscriminant
$b^2-4ac=1-4(1)(\frac{1}{2}) =1-2=-1$
ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีค่า $x$ ที่เป็นจำนวนจริง ที่ทำให้สมการ $\left(\,x^2+x+\frac{1}{2}\right) $ เท่ากับศูนย์ ดังนั้นในวิธีทำ จึงต่อแปลงต่อครับ

ย้อนกลับขึ้นไปดู น่าจะต้องการถามว่าถ้ามีจำนวนเชิงซ้อนที่ทำให้ $\left(\,x^2+x+\frac{1}{2}\right) $ เป็นศูนย์ได้ และค่าของฟังก์ชั่นที่ได้เป็นจำนวนจริง จะบอกว่าค่าสูงสุดหรือต่ำสุดได้หรือไม่

$x^2+x+\frac{1}{2}=0 \rightarrow x^2+x=-\frac{1}{2} $
$x^4+2x^3+2x^2+x+2=x^2(x^2+x)+x(x^2+x)+x^2+x+2$
$=-\frac{1}{2}\left(\,x^2+x\right)+\left(\,-\frac{1}{2}\right)+2 $
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2 $
$=\frac{3}{2} $

ไหนคิดแล้วได้ไม่ตรงกับที่ดูจากตอนทำ ที่คิดว่าน่าจะเป็น $\frac{7}{4} $
แต่ถ้าดันมีค่า $x$ ที่ทำให้ $\left(\,x^2+x+\frac{1}{2}\right)^2 $ เป็นค่าลบได้ในกรณีที่ $x$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน คงจะหาค่า $x$ ได้เป็นอนันต์ คือทุกค่าลบที่เราต้องการของ $\left(\,x^2+x+\frac{1}{2}\right)^2 $ เราจะมีค่า $x$ ที่สอดคล้องไปเรื่อยๆ จึงไม่มีค่าต่ำสุดมั้งครับ