[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

โจทย์สวยๆอีกข้อ (ยังไม่ได้ทำ)ถ้าใครสนใจก็ลองดูครับ

$ax + by + cz = 3$

$ax^2 + by^2 + cz^2 = 4$

$ax^3 + by^3 + cz^3 = 7$

$ax^4 + by^4 + cz^4 = 8$

$ax^5 + by^5 + cz^5 = 13$

$ax^6 + by^6 + cz^6 = 17$


แล้ว $ \ ax^7 + by^7 + cz^7 \ $ มีค่าเท่าใด

ทำเมื่อคืนนี้เล่นเอาหน้าจะมืด คำตอบเป็นตัวเลขไม่ค่อยสวยเลย
จาก $(ax^6 + by^6 + cz^6)(x+y+z) = 17(x+y+z)$
$ax^7 + by^7 + cz^7 +ax^6y+ax^6z+ bxy^6 + by^6z+cxz^6+cyz^6= 17(x+y+z)$
$ax^6y+ax^6z+ bxy^6 + by^6z+cxz^6+cyz^6=(ax^5 + by^5 + cz^5)(xy+yz+xz)-xyz(ax^4 + by^4 + cz^4)$
$=13(xy+yz+xz)-8xyz$
ดังนั้น $ax^7 + by^7 + cz^7=17(x+y+z)-13(xy+yz+xz)+8xyz$

เราทำแบบนี้กับสมการที่เหลือ จะได้ว่า
$7(x+y+z)-4(xy+yz+xz)+3xyz=8$...........(1)
$8(x+y+z)-7(xy+yz+xz)+4xyz=13$...........(2)
$13(x+y+z)-8(xy+yz+xz)+7xyz=17$...........(3)
(1)+(2) $15(x+y+z)-11(xy+yz+xz)+7xyz=21$.....(4)
(4)-(3) $2(x+y+z)-3(xy+yz+xz)=4$.........(5)
เดี๋ยวมาเขียนต่อ
(2)-(1) $(x+y+z)-3(xy+yz+xz)+xyz=5$..........(6)
(5)-(6) $(x+y+z)=xyz-1$..........(7)
(3)-(2) $5(x+y+z)-(xy+yz+xz)+3xyz=4$..........(8)
แทน (7) ใน (8) $xy+yz+xz=8xyz-9$..........(9)
แทน (7),(9) ใน (1) $7xyz-7-32xyz+36+3xyz=8$
$22xyz=21\rightarrow xyz=\frac{21}{22} $
$17(x+y+z)-13(xy+yz+xz)+8xyz=25+(xy+yz+xz)+xyz$
$=25+(8xyz-9)+xyz$
$=16+9xyz$
$=16+9\left(\,\frac{21}{22}\right) $
$ax^7 + by^7 + cz^7=\frac{541}{22}$

ไม่รู้ว่าจะคิดผิดตรงไหน....ตาลาย