[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

DAY 2 :

7. ให้ a,b เป็นจำนวนเต็มที่ (a,b)=1 และให้ m เป็นจำนวนเต็มที่ $ 5 | ma^2+b^2$ พิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็ม n ซึ่ง $ 5|m-n^2$

(Note : ข้อนี้สามารถ generalize จาก 5 เป็น prime number $ p \equiv 1{\pmod 4} $ ได้

8. นักเรียนชายและหญิง อย่างละ 2n คน แข่งเทควันโดแบบพบกันหมด และมีเกณฑ์ให้คะแนนดังนี้

(ก) ถ้าเพศเดียวกันแข่งกัน ผู้ชนะได้ 3 คะแนน ผู้แพ้ได้ 0 คะแนน และเสมอคนละ 1 คะแนน

(ข) ถ้าชายแข่งกับหญิง ในกรณีที่หญิงชนะ จะได้ 3 คะแนน แพ้ 0 คะแนน และเสมอได้ 2 คะแนน ในกรณีชายชนะ ได้ 2 คะแนน แพ้หรือเสมอได้ 0 คะแนน

หลังการแข่งขันสิ้นสุด หาคะแนนรวมเด็กแต่ละคน และ P แทนจำนวนคู่แข่งขันที่ผลการแข่งขันเสมอ และ Q แทนจำนวนคู่แข่งขันทั้งหมด ถ้านักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุดได้ 4n-1 คะแนน หาค่า $\frac{P}{Q}$

9. n เป็นจำนวนเต็มบวก และ P(x) เป็นพหุนาม monic ดีกรี n ที่สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนจริงบวกและ constant term = 1 ถ้า P(x) = 0 มีรากทุกตัวเป็นจำนวนจริง พิสูจน์ $ P(x) \geq (x+1)^n ,x >0$

10. ให้ x เป็นจำนวนอตรรกยะ พิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็ม m,n ซึ่ง $ \frac{1}{2555} < mx+n < \frac{1}{2012}$

(Note : It's special case of Kronecker Theorem : nv+m dense in R ,where v is positive irrational and n positive integer , m integer)

11. กำหนดสามเหลี่ยมุมแหลม ABC และ CP เป็นส่วนสูง ให้ $ \omega$ คือวงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง BC ,จากจุด A ลากเส้นสัมผัส AD, AE มายัง $\omega$ ,เส้นสัมผัส AD,AE ตัดเส้นตรง BC ที่ M,N ตามลำดับ โดย B อยู่ระหว่าง M,C ,ให้ CP ตัด DE ที่ Q และ ME ตัด ND ที่ R และ QR ตัด BC ที่ S พิสูจน์ QS แบ่งครึ่งมุม DSE

12. ให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวก และ $ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \in \mathbb{Z} $ พิสูจน์ abc เป็นกำลังสามสมบูรณ์

(Note : COPIED FROM OLD CONTEST!)

รบกวนข้อ 10,12ทีครับ