$y = \sqrt{\dfrac{x^2-2}{x-4} }$
$\therefore y\geqslant 0$
$y^2=\dfrac{x^2-2}{x-4}$
$y^2x-4y^2=x^2-2$
$x^2-y^2x+4y^2-2=0$
$x=\dfrac{y^2\pm \sqrt{y^4-4(4y^2-2)} }{2} $
$\therefore y^4-4(4y^2-2)\geqslant 0$
$y^4-16y^2+8\geqslant 0$
$(y^2-8)^2-56\geqslant 0$
$(y^2-8+\sqrt{56} )(y^2-8-\sqrt{56} )\geqslant 0$
$(y^2-(\sqrt{8-\sqrt{56} })^2 )((y^2-(\sqrt{8+\sqrt{56} })^2)\geqslant 0$
$(y+\sqrt{8-\sqrt{56} })(y-\sqrt{8-\sqrt{56} })(y+\sqrt{8+\sqrt{56} })(y-\sqrt{8+\sqrt{56} })\geqslant 0$
$\because y\geqslant 0$
$\therefore (y-\sqrt{8-\sqrt{56} })(y-\sqrt{8+\sqrt{56} })\geqslant 0$
$0\leqslant y\leqslant \sqrt{8-\sqrt{56} } $ or $y\geqslant \sqrt{8+\sqrt{56} }$
|