[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

มาเติมให้อีก 1 ข้อครับ

Tricky question !

a,b,c,p > 0 พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \frac{a^3b}{(3a+b)^p} \geq \sum_{cyc} \frac{a^2bc}{(2a+b+c)^p}$$

ไม่เเน่ใจเลยครับ เเต่ลองเเถๆดูไปก่อน
Lemma I $$\dfrac{x}{(x+3)^p}\le \Big(\dfrac{4-p}{4^{p+1}}\Big)x+\dfrac{p}{4^{p+1}}\leftrightarrow f(x)=4(x+3)^p-4^{p+1}x\ge 0$$
เเละ ถ้า $f'(x)=0$ ได้ว่า $x=1$ ซึ่งให้ค่าต่ำสุดเป็น $0$ ทำให้อสมการซ้ายจริง
Lemma II (น่าจะดริฟได้เเต่ผม Diff ไม่เป็น = =) พืสูจน์ไม่ได้ครับ เเต่เดามา 555 $c(3a+b)^p+b(3c+a)^p+a(3b+c)^p\le \Big(\dfrac{4}{3}\Big)^p(a+b+c)^{p+1}=3\cdot 4^p$
เเละสมมุติให้ $a+b+c=3$ อสมการที่ต้องการคือ $$\frac{a^2}{c(3a+b)^p}+\frac{b^2}{a(3b+c)^p}+\frac{c^2}{b(3c+a)^p}\ge\frac{a}{(a+3)^p}+\frac{b}{(b+3)^p}+\frac{c}{(c+3)^p}$$ โดย Cauchy,Lemma I เเละ Lemma II ได้ว่า $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{c(3a+b)^p}\ge \frac{(a+b+c)^2}{c(3a+b)^p+b(3c+a)^p+c(3b+c)^p}\ge \frac{3}{4^p}=\sum_{cyc} \Big(\dfrac{4-p}{4^{p+1}}\Big)a+\dfrac{p}{4^{p+1}}\ge \sum_{cyc} \frac{a}{(a+3)^2}$$