[กิตติ]

ช่วงนี้ได้หนังสือติวเข้าเตรียมจากพี่ๆในที่ทำงาน โจทย์ข้อนี้ถามง่ายมากแต่ผมคิดวิธีสั้นๆไม่ออก
ลองใช้ตัวค้นหาในเวปแล้วมันหาไม่เจอโพสที่มีคนเคยโพสไว้ครับ

ถ้า $x^2+x-1$ เป็นตัวประกอบของ $ax^{17}+bx^{16}+1$ แล้วจงหาค่าของ $a$

ผมทำแบบนี้ครับ
ให้ $x_1,x_2$ เป็นรากของสมการ $x^2+x-1=0$ จะได้ว่า $x_1+x_2=-1,x_1x_2=-1$

$ax^{17}+bx^{16}+1=P(x)(x^2+x-1)$
แทน $x_1,x_2$ ลงใน $ax^{17}+bx^{16}+1$

$ax_1^{17}+bx_1^{16}+1=0$........(1)
$ax_2^{17}+bx_2^{16}+1=0$........(2)

คูณ(1)ด้วย $x_2^{16}$
$ax_1^{17}x_2^{16}+bx_1^{16}x_2^{16}+x_2^{16}=0$........(3)

คูณ(2)ด้วย $x_1^{16}$
$ax_1^{16}x_2^{17}+bx_1^{16}x_2^{16}+x_1^{16}=0$........(4)

(3)-(4)
$ax_1^{16}x_2^{16}(x_1-x_2)+(x_2^{16}-x_1^{16})=0$

$a=\dfrac{x_1^{16}-x_2^{16}}{x_1-x_2} $

$a=(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)(x_1^4+x_2^4)(x_1^8+x_2^8)$

$x_1^2+x_2^2=1-2x_1x_2=3$
$x_1^4+x_2^4=9-2(x_1x_2)^2=7$
$x_1^8+x_2^8=49-2(x_1x_2)^4=47$

$a=(-1)(3)(7)(47)=-987$