อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii
ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริงจะได้
$-\dfrac{1}{3}\leq\dfrac{x+1}{x^2+x+1}\leq 1$
ค่าต่ำสุดเกิดเมื่อ $x=-2$ ค่าสูงสุดเกิดเมื่อ $x=0$
|
เอาแบบไม่ใช้แคลคูลัสนะครับ
$\dfrac{x+1}{x^2+x+1}=1-\dfrac{x^2}{x^2+x+1}\leq 1$
สมการเป็นจริงเมื่อ $x=0$
ถ้า $x=-1$ จะได้ $\dfrac{x+1}{x^2+x+1}=0$
ดังนั้นค่าต่ำสุดจะต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับ $0$ สมมติว่าเป็น $-k$ เมื่อ $k\geq 0$
จะได้ว่า
$-k\leq \dfrac{x+1}{x^2+x+1}$ ทุก $x\in\mathbb{R}$
$kx^2+(k+1)x+(k+1)\geq 0$ ทุก $x\in\mathbb{R}$
ซึ่งจะเป็นจริงได้ค่า discriminant ต้องไม่เป็นบวก จึงได้ว่า
$(k+1)^2-4k(k+1)\leq 0$
$(k+1)(1-3k)\leq 0$
$k\geq\dfrac{1}{3}$
แต่เนื่องจากเราต้องการค่าสุดขีดจะต้องได้ว่า $k=\dfrac{1}{3}$ ไม่เช่นนั้นสมการจะเกิดไม่ได้
ซึ่งตรวจสอบได้ไม่ยากว่าสมการเกิดได้เมื่อ $x=-2$