[ทิดมี สึกใหม่]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$\frac{p}{q}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ซึ่งเมื่อทอนเป็นทศนิยมแล้วจะมีรูปแบบเป็น 0.abababab...
ซึ่ง a และ b อาจเหมือนกันก็ได้ แต่ถ้าเหมือนกัน จะไม่เป็น 0 ทั้่งคู่
จงหาค่าต่างๆของ p

1/3
2/3
1/9
2/9
4/9
5/9
7/9
8/9

p = 1, 2, 4, 5, 7, 8

ขออนุญาตแย้งคุณลุงนะครับ คือโจทย์ข้อนี้ต้องการทราบจำนวน p ทั้งหมดมีกี่ตัว (p=จำนวนเต็ม) ซึ่ง p ไม่ซ้ำกัน
p ตัวนี้เกิดจากการทำให้ $\frac{p}{q}$ =0.abababab...... เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
วิธีทำมี 4 ขั้นตอน ดังนี้ (เวลาสอบแข่งขันต้องแสดงวิธีทำ พอสังเขป)
ขั้นตอนที่ 1
$\frac{p}{q}$ =0.abababab...... (1)
100$\frac{p}{q}$ =ab.abababab...... (2)
(2)-(1) $\frac{p}{q}$ =$\frac{ab}{99}$.............. (3)
ดังนั้น ab มีค่าเป็นไปได้ทั้งหมด 99 ตัว เมื่อส่วนเป็น 99 ( 5 คะแนน)

ขั้นตอนที่ 2
set ของสมการ (3) $\frac{p}{q}$={ $\frac{1}{99}$, $\frac{2}{99}$, $\frac{3}{99}$, $\frac{4}{99}$,$\frac{5}{99}$,$\frac{6}{99}$,$\frac{7}{99}$,$\frac{8}{99}$,$\frac{9}{99}$,$\frac{10}{99}$,...,$\frac{27}{99}$,.. ...,$\frac{54}{99}$,.....,$\frac{81}{99}$,......., $\frac{98}{99}$,$\frac{99}{99}$ } ......(4)
แต่ 99 = 3x3x11
แสดงว่า $\frac{p}{q}$ สามารถทำเป็นเศษส่วนจากพหูนามของ 3 , 11 และ 33 ดังนี้
พหุนามของ 3 =$\frac{p}{q}$={ $\frac{3}{99}$, $\frac{6}{99}$, $\frac{9}{99}$, $\frac{12}{99}$,$\frac{15}{99}$,$\frac{18}{99}$,$\frac{21}{99}$,......., $\frac{96}{99}$,$\frac{99}{99}$ } ทั้งหมด 33 ตัว .......(5)
พหุนามของ 11 =$\frac{p}{q}$={ $\frac{11}{99}$, $\frac{22}{99}$, $\frac{33}{99}$, $\frac{44}{99}$,$\frac{55}{99}$,$\frac{66}{99}$,$\frac{77}{99}$,$\frac{88}{99}$,$\frac{99}{99}$ } ทั้งหมด 9 ตัว ......(6)
พหุนามของ 33 =$\frac{p}{q}$={ $\frac{33}{99}$, $\frac{66}{99}$, $\frac{99}{99}$} ทั้งหมด 3 ตัว ......(7)
(5),(6) และ (7) สามารถทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้ 33+9-3 =39 ตัว (บางตัวซ้ำกัน)
ดังนั้น จึงเหลือ $\frac{p}{q}$=99-39 = 60 ตัว ( 10 คะแนน)
ขั้นตอนที่ 3
จาก (4) สังเกตุ ค่า p ที่เหลือ จากการตัดพหุคูณของ 3 ,11 และ 33 ออกไปแล้ว ปรากฏว่า
p={1,2,4,5,7,8,10,13,14,16,17,19,20,23,25,26,...........,98} ทั้งหมด 60 ตัวจากขั้นตอนที่ 2 .........(8)

เมื่อทำ (5),(6) และ (7) เมื่อทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้วพบว่า
เศษส่วนบางตัว ทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้ว ทำให้ p มีค่าซ้ำกัน กับที่มีใน (8) (จึงตัดทิ้งได้)
แต่มีพหุคูณของ 27 คือ {$\frac{27}{99}$,$\frac{54}{99}$,$\frac{81}{99}$ } ได้
={$\frac{3}{11}$,$\frac{6}{11}$,$\frac{9}{11}$ }
ซึ่งทั้ง 3,6 และ 9 ไม่มีใน (8) ( 20 คะแนน)
ขั้นตอนที่ 4

ดังนั้น P ทั้งหมดที่ไม่ซ้ำกันจึงมี =60+3 = 63 ตัว ( 5 คะแนน) ตอบ
Answer oly , 10 คะแนน