[polsk133]

เครื่องหมายปีกกาหาย ไว้จะมาแก้ครับ พิมพ์เหนื่อยแล้ว

1. แบ่งกรณี
กรณีแรก $a\leqslant 3$

ได้ $max{5-max{a,3},a+3}=max{2,a+3}$ ทำให้น้อยได้สุดก็ได้ 2

กรณีที่สอง $a>3$ ได้ $a+3>6$

ได้ $max{5-max{a,3},a+3}=max{5-a,a+3}> 6$

ตอบ $2.00$

2.$a!+b!=2^c$

WLOG $a\leqslant b$

ได้ $a!\mid 2^c$ ดังนั้น $a\leqslant 2$

case1 $a=1$

$b!=2^c-1$

แต่ $2\nmid 2^c-1$

ดังนั้น $b=1$ ได้ $c=1$ $(a,b,c)=(1,1,1)$

case2 $a=2$

$b!=2(2^{c-1}-1)$

ได้ $4\nmid 2(2^{c-1}-1)$ และ $2\mid b!$ดังนั้น $2\leqslant b\leqslant 3$

$b=2$ ได้ $c=2$ และ $b=3$ ได้ $c=3$ ได้ $(a,b,c)=(2,2,2),(2,3,3)$

ดังนั้น $(a,b,c)=(1,1,1),(2,2,2),(2,3,3),(3,2,3)$

เอาไปแทนเซตแล้ว union ได้ 4x2=8 เพราะ เซต XกับY ไม่มีสมาชิกร่วมกันอยู่แล้ว

ตอบ $8.00$

3.จากโจทย์ก็ให้ $x=\sqrt{a}$ , $y=\sqrt{b}$

$x^3+y^3=134$
$x^2y+xy^2=126$

$x^3+y^3+3(x^2y+xy^2)=(x+y)^3=134+3(126)=512$

ได้ $x+y=8 $

จาก $x^2y+xy^2=xy(x+y)=126$

ได้ $xy= 63/4$ ดังนั้น $2xy=31.5$

$(x+y)^2-2xy=a+b=64-31.5=32.5$

ตอบ $32.50$

4.จากเซต {25,100},{26,99},{27,98},...,{62,63} รวม 38ทุกเซตสมาชิกรวมกันได้ 125

ดังนั้นถ้าสมาชิกตัวใดในเซตข้างต้นเป็นสมาชิกของ S แล้วสมาชิกอีกตัวในเซตจะไม่เป็นสมาชิกของ S

$|S|$ ที่เป็นไปได้มีทั้งหมด 100-38=62 แบบ

ตอบ $62.00$

5. ได้ $p(x)-q(x)=A(x-1)(x-2)(x-3)$ , $p(x)+q(x)=B(x+1)(x+2)(x+3)$

แทน $x=0$ ได้ $p(0)=3B-3A$ , $q(0)=3B+3A$

$[p(0)]^2+[q(x)]^2=18(A^2+B^2)\geqslant 18(1+1)=36$

ตอบ $36.00$

6. $a^2(a-3b)=b^2(b-3a)$

กระจาย ย้ายข้าง ได้ $(a-b)^3=0$ ดังนั้น $a=b$ ได้ $\frac{a}{b}=1$ ค่าเดียว

ตอบ $1.00$

7.ยังหา Solution ดีๆไม่ได้ ตอบ $2.00$

8.ไม่รู้ทำไง เพราะแทน $b=0$ ได้ $f(a)\not= f(a)$ งงเลยโจทย์ผิดมั้ง

9.รากคือ $x,\frac{2x}{3}$

ได้ $\frac{5x}{3}=\frac{10}{m}$

$\frac{2x^2}{3}=\frac{3}{m}$

จับหารกัน

$\frac{5}{2x}=\frac{10}{3}$

$x=\frac{3}{4}$ ,$\frac{2x}{3}=\frac{1}{2}$

ดังนั้นผลบวกรากคือ $\frac{5}{4}$

ตอบ $1.25$

10. สังเกตว่า $(y+1)zx=(z+1)xy$ จาก x เป็นจำนวนจริงบวก(ไม่เท่ากับ0นั่นแหละ) เอา x หารตลอด

ได้ $y=z$

ขอไม่แสดงไรมาก $(x,y,z)=(\frac{1}{3},3,3}$

$xyz=3$

ตอบ $3.00$

11. จากเลขโดดทุกหลักต้องต่างกัน

และจาก $1+2+3+4=10$ ดังนั้นจำนวนที่มากที่สุดคือจำนวน 4 หลักที่ประกอบด้วยเลข $1,2,3,4$

พิจารณาจำนวน 2 หลัก

$x_1+x_2=10$ โดยที่ $x_i \geqslant 1$ และ $x_i\not= x_j$

ได้ $\binom{9}{1}- |{(5,5)}|=9-1=8$ ตัว

พิจารณาจำนวน 3 หลัก

$x_1+x_2+x_3=10$ เงื่อนไขแบบเดิม

ได้ $\binom{9}{2}-12=24$ ตัว

พิจารณาจำนวน 4 หลัก

มีแค่ 1,2,3,4 สับเปลี่ยนได้ 24 ตัว

รวมทุกกรณีได้ 56 ตัว

ตอบ $56.00$

12. จาก $x_3+x_4+x_5=x_4+x_5+x_6=30$

ได้ $x_3=x_6$

จาก $x_6+x_7+x_8=x_7+x_8+x_9 $

ได้ $x_6=x_9$

ทำไปเรื่อยๆได้ $x_3=x_6=...=x_{2010}$

ดังนั้น $30=x_{2010}+x_{2011}+x_{2012}=5+x_{2011}+x_{2012}$

ได้ $x_{2011}+x_{2012}=25$

ตอบ $25.00$

13.มีคนทำแล้ว

14. $mn=25!=2^{a_1}3^{a_2}...23^{a_9}$

จาก $(m,n)=1$ จาก$ p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่หาร $m$ แล้ว $p\nmid n$

เลือก $m$ ได้ $\binom{9}{0}+\binom{9}{1}+...+\binom{9}{9}=2^9$

แต่ $m<n$ ได้ $2^8=256$ แบบ

ตอบ $256.00$

15. $22.00$
16. $2391.00$
17.
18.
19.
20. $475.00$
21. $2.41$
22.
23. $0.38$ ( ผมตอบ 0.375 เพราะเสียสติ ขอให้คนอื่นอย่าเอาเยี่ยงอย่าง)
24. $21.86$
25. $7.00$
26. $2.50$
27. $9.00$
28. $2.59 $
29. $-4.06$
30.