1.$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{2}\bigg(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\bigg)$$
$$=\frac{1}{2}\bigg[\bigg(\frac{1}{(1)(2)}-\frac{1}{(2)(3)}\bigg)+\bigg(\frac{1}{(2)(3)}-\frac{1}{(3)(4)}\bigg)+...+\bigg(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\bigg)\bigg]$$
$$=\frac{1}{2}\bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\bigg)$$ $$=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}$$
2. เนื่องจาก $\sum k^3=(\sum k)^2$
ดังนั้น $\sum k^3-(\sum k)^2=0\leqslant \sum k$
4. $$\sum_{k=1}^nk(k+1)=\sum_{k=1}^n(k^2+k)=\sum k^2+\sum k=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$
ดังนั้นตอบข้อ 3.