ดีแล้วครับ นิยามใหม่ๆต้องใช้เวลาคุ้นเคยกับมัน ถ้ามีตัวอย่างหรือหลายมุมมองมันก็จะช่วยด้วย
ที่ทำข้างบนนี่คร่าวๆแล้วถูกนะครับ แต่อาจต้องเกลาตรง quantifier นิดหน่อย
เริ่มแรกตรง * นี่เป็นข้อสรุปที่ถูกทั้งคู่ครับ อันแรกเป็นตามนิยาม
อันสองเป็นทริกสำคัญใน Analysis อย่างนึง Terrene Tao เรียกว่า give yourself a room of epsilon
คือเวลาจะพิสูจน์ $C \geq D $ ถ้าตรงๆไม่ได้ให้พิสูจน์ $C > D - \epsilon $ for all $\epsilon > 0$ แทน
(ลองคิดดูว่าทำไมมันก็ต่อเมื่อกัน)
ส่วนนิยาม lim sup มันคือดูหางของลำดับ ก็คือ $x_n $ ที่ $n > m$ เทค sup ของเซตนี้ แล้วก็เทคลิมิต $m \rightarrow \infty$
แนะนำให้ดูรูปบนวิกิ
http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_s...limit_inferior
ลองทำความเข้าใจนิยามนี้กับนิยาม $\epsilon$ ดูนะครับ