56. กำหนดให้ $p,q \in \mathbb{Z}^+$ $\gcd{(p,q)} = 1$ และ
$$\frac{p}{q} = \frac{543}{2549}+\frac{543\times542}{2549\times2548}+...+\frac{543\times542\times ...\times2\times1}{2549\times2548\times ...\times2007}$$
จงหาค่าของ $p+q$
57. กำหนดให้ $\displaystyle{a\Delta b} = \frac{a^b}{a^b+\sqrt{a}}$ และ
$\displaystyle{A = \sum_{n=1}^{1002}(n\Delta\frac{n}{2004})}$
$\displaystyle{B = \sum_{n=1003}^{2003}((2004-n)\Delta\frac{n}{2004})}$
จงหาค่าของ $A+B$
58. กำหนดให้ $\displaystyle{A_n = 9^{9^{9^{9^{...^9}}}}}$ มี $9$ เป็นเลขชี้กำลังทั้งหมด $n$ ตัว $S_n = A_1+A_2+...+A_n$ และ $G_n = A_1A_2...A_n$ จงหา $\sqrt[S_{n-1}]{G_n}$
59. จงแก้สมการ $\displaystyle{\sqrt[4]{2-\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}+\sqrt[4]{2+\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}} = \sqrt{2}}$
ให้ $\displaystyle{y = \sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}$
จะได้ $\displaystyle{\sqrt[4]{2-y} + \sqrt[4]{2+y} = \sqrt{2}}$
ยกกำลัง 4 ทั้งสมการ จะได้
$\displaystyle{2\sqrt[4]{(2-y)^3(2+y)}+2\sqrt[4]{(2-y)(2+y)^3}+3\sqrt[4]{(2-y)^2(2+y)^2} = 0}$
จะได้ว่า $y = -2$ หรือ $y = 2$ จากนี้แก้สมการต่อจะเหลือ $x = 36$ ครับ
60. กำหนดให้ $a$ เป็นจำนวนจริงบวก และมีเส้นตรง $\ell$ สัมผัสกับวงกลม $x^2+y^2 = 2a^2$ และสัมผัสกับ พาราโบลา $y^2=8ax$ จงหาเส้นตรง $\ell$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้
กำหนดให้ เส้นตรง $\ell : y = mx+c$ เราต้องการหาค่าที่เป็นไปได้ของ $m$ และ $c$
สมมติให้ เส้นตรง $\ell$ สัมผัสกับวงกลม $x^2+y^2 = 2a^2$ ที่จุด $(x_c,y_c)\rightarrow x_c^2+y_c^2 = 2a^2$
และสัมผัสกับ พาราโบลา $y^2=8ax$ ที่จุด $(x_p,y_p)\rightarrow y_p^2 = 8ax_p$
จากสมการวงกลม และพาราโบลา ดิฟ หาความชัน จะได้ว่า $\displaystyle{m = \frac{4a}{y_p} = -\frac{x_c}{y_c}}$
นำค่า $m$ ที่ได้จากความชัน แทนลงในสมการเส้นตรง แก้หาค่า $x_p,y_p,x_c,y_c$ จะได้ว่า
$\displaystyle{x_p = \frac{c^2}{2a}, y_p = 2c}$
$\displaystyle{x_c = -\frac{a}{c}\sqrt{2c^2-4a^2}, y_c = \frac{2a^2}{c}}$
ในการแก้สมการ อาจจะสงสัยว่า ทำไมค่า $\displaystyle{x_c = \frac{a}{c}\sqrt{2c^2-4a^2}}$ ถึงใช้ไม่ได้ ลองวาดรูป สมการวงกลม กับพาราโบลา แล้วลองวาดเส้นตรง ที่สัมผัสกราฟทั้งสองดูคร่าวๆ ก็สามารถรู้ได้ว่า $x_c < 0$ อย่างแน่นอน
แล้วนำค่า $x_c,y_c,y_p$ ที่ได้ ลงไปแทนค่าใน $\displaystyle{\frac{4a}{y_p} = -\frac{x_c}{y_c}}$ แก้สมการต่อ จะได้ $c = \pm 2a\rightarrow m = \pm1$
เส้นตรง $\ell$ ที่เป็นไปได้คือ $y = x+2a$ และ $y = -x-2a$