[-InnoXenT-]

เพิ่มโจทย์น่าสนใจจากที่อื่นๆ อีก 10 ข้อครับ

61. จงแสดงว่า $\displaystyle{\frac{1}{15} < \frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{99}{100}<\frac{1}{10}}$

Solution

กำหนดให้ $\displaystyle{A = \frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{99}{100}}$

พิสูจน์ว่า $\displaystyle{A<\frac{1}{10}}$

กำหนดให้ $\displaystyle{B = \frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\times...\times\frac{98}{99}\times1}$

สังเกตพจน์ต่อพจน์ว่า $\displaystyle{\frac{2}{3} > \frac{1}{2} ,\frac{4}{5} > \frac{3}{4},...,\frac{98}{99}>\frac{97}{98},1>\frac{99}{100}}$
ดังนั้น $A < B$
คูณทั้งหมดด้วย $A$ จะได้

$\displaystyle{A^2 < AB = \frac{1}{100}}$

$\displaystyle{A < \frac{1}{10}}$

พิสูจน์ว่า $\displaystyle{A>\frac{1}{15}}$

$\displaystyle{A = \frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{99}{100}}$

$\displaystyle{A^2 = \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{99}{100}\times\frac{99}{100}}$

$\displaystyle{A^2 > \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{98}{99}\times\frac{99}{100}}$

$\displaystyle{A^2 > \frac{1}{200} > \frac{1}{225}}$

$\displaystyle{A > \frac{1}{15}}$

62. จงหาค่า $x \in \left[ 0,\,2\pi\right] $ ที่ทำให้

$\sin{x} < \cos{x} < \tan{x} < \cot{x}$

Solution

แยกกรณีคิดเยอะมาก แล้วจะได้คำตอบ พิมพ์ไม่หมด

63. กำหนดลำดับ $a_n$ นิยามดังนี้ $a_1 = 8, a_2 = 18$ และ $a_{n+2} = a_{n+1}a_n$ จงหาค่า $n$ ที่ทำให้ $a_n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...2&postcount=74

64. จงหาค่าจำนวนเต็ม $(x,y)$ ที่ทำให้

$$6x^2-3xy-13x+5y=-11$$

Solution

จัดรูปใหม่ได้ $\displaystyle{y = 2x-1+\frac{6}{3x-5}}$

$\displaystyle{\frac{6}{3x-5} = \pm1,\pm2,\pm3,\pm6}$

จะเหลือคำตอบคือ $(2,9),(1,-2)$

65. กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นรากของ สมการ $x^3-x^2-x-1 = 0$
65.1) จงแสดงว่า สมการข้างต้น ไม่มีรากที่เท่ากัน

Solution

ตั้ง $(x-m)^2(x-n) = x^3-x^2-x-1$

แล้วเทียบ สปส. จะได้สมการสามสมการ นั่นก็คือ

$n+2m = 1, nm^2=1, m^2+2mn = -1$

เมื่อลองแก้ดู จะพบว่า ไม่มีค่าใดๆ ที่จะทำให้สมการเป็นจริงทั้งสามสมการ ดังนั้น สมการข้างต้นจึงไม่มีรากที่เท่ากัน

65.2) จงแสดงว่า ค่าข้างล่างเป็นจำนวนเต็ม

$$\frac{a^{1982}-b^{1982}}{a-b}+\frac{b^{1982}-c^{1982}}{b-c}+\frac{c^{1982}-a^{1982}}{c-a}$$

Solution

http://www.math-olympiad.com/14th-ca...iad-1982.htm#2

66. จงหาค่ามากที่สุดของจำนวนจริง $z$ ที่ทำให้

$$x+y+z = 5$$
$$xy+yz+xz = 3$$

และ $x,y$ เป็นจำนวนจริง

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...2&postcount=74

67. กำหนดให้ $x = (1+\frac{1}{n})^n$ และ $y = (1+\frac{1}{n})^{n+1}$ จงแสดงว่า $x^y = y^x$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...5&postcount=75

68. กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่า

$$1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^n(n-1)^2-(-1)^{n+1}n^2 = (-1)^{n+1}(1+2+...+n)$$

Solution

แยกกรณี $n$ เป็นจำนวนคู่ กับคี่

ถ้า $n$ เป็นจำนวนคู่ จับคู่ผลต่างกำลังสอง หลังจากนั้นก็แสดงได้ง่ายๆ

ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ ทำเหมือนกัน แล้วบวกพจน์สุดท้ายไปทีหลัง

69. จงแก้สมการ

$$\left| x+3\right| +\left| x-1\right| =x+1$$

Solution

แยกกรณี เป็นสามกรณีคือ $x \leq-3, -3<x<1, x\geq1$ และข้อบังคับว่า $x \geq -1$ เสมอ
ไม่มีคำตอบสำหรับสมการนี้

70. กำหนดให้ $\displaystyle{h(n) = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}}$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ จงแสดงว่า

$$n+h(1)+h(2)+...+h(n-1) = nh(n), \forall n\geq 2$$

Solution

$\displaystyle{h(
1)+h(2)+h(3++...+h(n-1) = (\frac{1}{1}) + (\frac{1}{1}+\frac{1}{2})+(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+ ... + (\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1})}$

$\displaystyle{= \frac{n-1}{1}+\frac{n-2}{2}+...+\frac{1}{n-1}}$

$\displaystyle{= (\frac{n}{1}-\frac{1}{1})+(\frac{n}{2}-\frac{2}{2})+...+(\frac{n}{n-1}-\frac{n-1}{n-1})}$

$\displaystyle{= nh(n)-n}$

ย้ายข้าง $n$ ไปก็จะได้คำตอบครับ