ข้อ 3 โดยโคชี $a^3+1=\sqrt{(a^3+1)(a+1)(a^2-a+1)} \geq (a^2+1)\sqrt{a^2-a+1}$
หลังจากนี้ใช้ Jensen ครับ แต่ก่อนใช้จะยากอยู่
ข้อ 4 Homogenize ด้วย $xy+yz+zx=3$ แล้วอสมการ Homogeneous ดีกรี 1
แล้ว Homogenize โดยสมมติให้ $x+y+z=1$ อีกรอบครับ
เขียนอสมการใหม่เป็น $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{\sqrt{3}\sqrt{xy+yz+zx}}{2}+\frac{\sqrt{3}\sqrt{xy+yz+zx}}{2}+\frac{ax}{b+c}+\frac{by}{c+a}+\frac{cz}{a+b}$
หลังจากนี้ใช้โคชีฝั่งขวาครับ
ข้อ 5 ใช้อสมการนี้ครับ $(x^2+y^2+z^2)^2 \geq 3(x^3y+y^3z+z^3x)$
ข้อ 6 ใช้เอกลักษณ์นี้ครับ $a^3+b^3+c^3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)=\frac{(a+b-c)(a-b)^2+(b+c-a)(b-c)^2+(c+a-b)(c-a)^2}{2}$
ต้อง bound อสมการให้ sharp ก่อน
อสมการสุดท้ายจะเขียนได้ในรูปของ SOS $\sum_{cyc}(a+b-c-\frac{ab}{a+b})(a-b)^2 \geq 0$
====================================================================
ข้อ 3 กับข้อ 6 ยากกว่าข้ออื่นๆครับ สำหรับอสมการสอวน.ทำแค่ Hojoo Lee ไปเยอะๆก็เกือบเต็มแล้วครับ กระทู้ Hojoo Lee พี่ nooonuii เฉลยไว้เกือบหมดแล้ว ฝึกไปหมดนั่นก็ถมเถแล้วครับ
