อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง
ขอบคุณมากครับ (น่าจะ)ได้ข้อ 3 เเล้ว 555
จาก Hint คุณ Keehlzver จึงเพียงพอที่จะเเสดงว่า $(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)(d^2-d+1)\ge \Big(\dfrac{1+abcd}{2}\Big)^2$
คือผมไม่เเน่ใจว่า $f(x)=\log(x^2-x+1)$ เป็น convex หรือป่าวอ่ะครับ 
โดย Jensen ให้ $f(x)=\log (x^2-x+1)$ เป็น canvex function เเละให้ $t=\dfrac{a+b+c+d}{4}$ จึงได้ว่า
$$\prod_{cyc} (a^2-a+1)\ge (t^2-t+1)^4$$ จาก $\dfrac{1+abcd}{2}\le \dfrac{1+t^4}{2}$ จึงต้องการเเสดงว่า $\Big(\dfrac{1+t^4}{2}\Big)^2\le (t^2-t+1)^4\leftrightarrow (t-1)^4\ge 0$
|
ตัวนี้เป็น concave อ่ะครับ ฟังก์ชันในเฉลยที่ผมมีใช้ $f(x)=ln(e^{2x}-e^{x}+1)$ เป็น Convex ช่วง $x \geq ln(\frac{1}{2})$ ครับ แต่วิธีทำก็ประมาณนี้แหละ