ค่าต่ำสุดของสมการส่วนกลับไดโอฯ
ให้ $x,y,z$ เป็ฯขจำนวนเต็มบวกที่ $x>y>z$ โดยที่ $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}$
จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2+y^2+z^2$
ที่ผมคิดไว้
ถ้า $(x,y,z)=(a,b,c)$ เป็นคำตอบของสมการแล้ว $(ak,bk,ck)$ เป็นคำตอบของสมการด้วย
ต้องเลือกให้ $(a,b,c)$ ที่เป็นคำตอบมีค่าน้อยที่สุด
คำตอบหนึ่งของสมการคือ $(x,y,z)=(\sqrt{\frac{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}{2mn}},\sqrt{\frac{2mn(m^2+n^2)}{m^2-n^2}},\sqrt{\frac{2mn(m^2-n^2)}{m^2+n^2}})$
แต่ $x,y$ สลับที่กันได้ จะได้อีกคำตอบคือ $(x,y,z)=(\sqrt{\frac{2mn(m^2+n^2)}{m^2-n^2}},\sqrt{\frac{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}{2mn}},\sqrt{\frac{2mn(m^2-n^2)}{m^2+n^2}})$
เลือกคู่อันดับที่ $x>y>z$ และเลือกให้ $m>n$ ที่ทำให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ $(x,y,z)$ สอดคล้องสมการโจทย์
แต่โจทย์ถามหา $x^2+y^2+z^2$ ที่มีค่าน้อยที่สุด
เลือกให้ $x^2+y^2+z^2$ มีค่าต่ำสุดที่สอดคล้องสมการ $(zx)^2+(yz)^2=(xy)^2$
ตอบอะไรผมก็ไม่รู้เหมือนกัน ได้ว่า $(x,y,z)=(20,15,12)$ เป็นคำตอบก็จริง
แต่ไม่รู้ว่าเป็นค่าที่ทำให้ $x^2+y^2+z^2$ ต่ำสุดจริงหรือเปล่า.......
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!"
|