ถูกทางแล้วล่ะครับ จาก $(zx)^2+(yz)^2=(xy)^2$
มันต้องมาจาก Pythagorean triple นั่นคือ
$(zy , zx, xy) = (d (m^2 - n^2 ), d(2mn), d(m^2+n^2))$
โดย $m,n$ coprime และ $m + n$ odd
แล้วก็แก้ต่อได้ว่า
$ (x^2,y^2,z^2) = (d \frac{2mn(m^2+n^2)}{m^2-n^2},d \frac{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}{2mn},d \frac{2mn(m^2-n^2)}{m^2+n^2} )$
สังเกตุว่า $m^2 - n^2 , 2mn, m^2+n^2$ มัน pairwise coprime
ดังนั้น $(m^2 - n^2)(2mn)( m^2+n^2) $ ต้องหาร $d$ ลงตัว
คำตอบทั่วไปจึงอยู่ในรูป
$(x,y,z) = (k (2mn)(m^2 + n^2) , k(m^2-n^2)(m^2+n^2), k(2mn)(m^2-n^2))$
ซึ่งน้อยสุดที่ $k=1$ และ $(m,n) = (2,1)$ หรือมาจาก $3,4,5$ นั่นเอง
|