[Euler-Fermat]

9. $a,b,c$ เป็นรากของ $x^3-5x^2+5x+1 = 0$

$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)$

จาก ความสัมพันธ์รากและสัมประสิทธิ์ได้ ว่า

$a+b+c = 5$

$ab+bc+ca = 5$

$abc = -1$

$a^2+ab+b^2 = (a+b)^2-ab = (5-c)^2+\dfrac{1}{c} = \dfrac{c^3-10c^2+25c+1}{c}$

ในทำนองเดียวกัน ได้ $b^2+bc+c^2 = \dfrac{a^3-10a^2+25a+1}{a}$

$c^2+ca+a^2 = \dfrac{b^3-10b^2+25b+1}{b}$

จาก $a,b,c$ เป็นรากของ $x^3-5x^2+5x+1 = 0 $

ได้ $P(a) = P(b) = P(c) = 0 $

$\therefore \prod_{cyc}a^2+ab+b^2 = \prod_{cyc} \dfrac{-5c^2+20c}{c} $

$\prod_{cyc} -5(c-4) = -125(a-4)(b-4)(c-4) = -125[abc-4(ab+bc+ca)+16(a+b+c)-64]$

แทนค่าเข้าไปจากความสัมพันธ์ข้างต้น ได้

$-125[abc-4(ab+bc+ca)+16(a+b+c)-64] = -125[-5] = 625$