อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jean merin
กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก $x_1,x_2,...x_n$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $x_1x_2...x_n=1$
จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leqslant 1$$
|
อสมการที่ต้องการพิสูจน์สมมูลกับ $$\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n}\geqslant 1$$
โดยอสมการโคชี $$(\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n})((n-1+x_1)+(n-1+x_2)+...+(n-1+x_n))\geq (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n})^2$$
ดังนั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า$$ (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n})^2\geq ((n-1+x_1)+(n-1+x_2)+...+(n-1+x_n))$$
กระจายออกมา สมมูลกับ $$x_1+x_2+...+x_n+2\sum_{1\leq i < j\leq n}{\sqrt{x_ix_j}}\geq n(n-1)+(x_1+x_2+...+x_n)$$
สมมูลกับ $$2\sum_{1\leq i < j\leq n}{\sqrt{x_ix_j}}\geq n(n-1)$$
ซึ่งเป็นจริงจากอสมการ A.M-G.M
QED