อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TU Gifted Math#10
อสมการที่ต้องการพิสูจน์สมมูลกับ $$\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n}\leqslant 1$$
โดยอสมการโคชี $$(\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n})((n-1+x_1)+(n-1+x_2)+...+(n-1+x_n))\geq (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n})^2$$
ดังนั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า$$ (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n})^2\geq ((n-1+x_1)+(n-1+x_2)+...+(n-1+x_n))$$
กระจายออกมา สมมูลกับ $$x_1+x_2+...+x_n+2\sum_{1\leq i < j\leq n}{\sqrt{x_ix_j}}\geq n(n-1)+(x_1+x_2+...+x_n)$$
สมมูลกับ $$2\sum_{1\leq i < j\leq n}{\sqrt{x_ix_j}}\geq n(n-1)$$
ซึ่งเป็นจริงจากอสมการ A.M-G.M
QED
|
สมมูลกันยังไงครับ??
บทพิสูจน์ที่เขียนมา สำหรับ
$\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n}\geq 1$
ใช่ไหมครับ
ผมไม่เข้าใจว่ามันช่วยในการพิสูจน์
$\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq 1$
ได้ยังไง
อสมการ $\frac{1}{n-1+x_1}+\frac{1}{n-1+x_2}+...+\frac{1}{n-1+x_n}\leq 1$
สมมูลกับอสมการ $\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n}+\frac{n-2}{n-1+x_1}+\frac{n-2}{n-1+x_2}+...+\frac{n-2}{n-1+x_n}\geq n-1$