[แม่ให้บุญมา]

\[\begin{align}
& \arcsin \left( \frac{1}{\sqrt{17}} \right)-2\arccos \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)=\alpha -2\beta \to \cos 2\beta =2{{\cos }^{2}}\beta -1=2{{\left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}-1=\frac{8}{5}-1=\frac{3}{5}\to \\
& \sin 2\beta =\frac{4}{5}>\frac{1}{\sqrt{17}}=\sin \alpha \therefore \,\,\,\,\alpha -2\beta <0 \\
& arc\sec x=\arcsin \left( \frac{1}{\sqrt{17}} \right)-2\arccos \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)=\alpha -2\beta \\
& \cot \left( \frac{\pi }{2}+arc\sec x \right)=-\tan (arc\sec x)=-\tan (\alpha -2\beta )=-\frac{(\tan \alpha -\tan 2\beta )}{1+\tan \alpha \tan 2\beta }=-\frac{-\left( \frac{1}{4}-\frac{4}{3} \right)}{1+\left( \frac{1}{4}\times \frac{4}{3} \right)}=-\frac{\left( \frac{3-16}{12} \right)}{\frac{5}{4}}=\frac{13}{16} \\
\end{align}\]
ข้อนี้มีประเด็นที่ ถกเถียงที่ \[arc\sec x=\arcsin \left( \frac{1}{\sqrt{17}} \right)-2\arccos \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)=\alpha -2\beta <0\,\,(Quarant\,4\,?)\]
ซึ่งอยู่ใน $Q_4$ แต่ปกติ 0 ≤ arcsec x ≤ π ,arcsec x≠TT/2 หรืออยู่ใน $Q_1,Q_2$
โจทย์ข้อนี้จึงอาจจะผิดกฎเกณฑ์หรือไม่ครับ ?