อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง
2.Find $\lim_{n\rightarrow\infty } \dfrac{b_n}{a_n}$ if
$$a_n=1+\sum_{k=2}^n \frac{1}{\sqrt{k}},b_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k+1}}$$
|
รบกวนช่วยตรวจหน่อยครับผมไม่เเน่ใจเลย
ให้ $$c_n=\sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{\sqrt{n+k}}$$
ซึ่ง(ตรงนี้เเหละครับที่ไม่เเน่ใจ) $c_n$ มีค่าลดลงเรื่อยๆเมื่อ $n$ มากขึ้น
พิจารณาว่าถ้า $\dfrac{1}{\sqrt{n+k}}< \dfrac{1}{n+1}\leftrightarrow n^2+n+1<k$ ทำให้ได้ว่า $n^2+n+1<n+1\leftrightarrow n^2<0$ ซึ่งขัดเเย้งดังนั้น $\dfrac{1}{\sqrt{n+k}}\ge\dfrac{1}{n+1}$ $$\sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{\sqrt{n+k}}\ge \underbrace{\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}+...+\dfrac{1}{n+1}}_{n+1 elements} =1$$
จึงพบว่า $c_n\ge 1$ ทุกจำนวนนับ $n$ทำให้ $\lim_{n\rightarrow \infty}c_n=1$
ทำไปทำมาได้ว่า $a_n\Big(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Big)+c_n=b_n+1\rightarrow 0=\lim_{n\rightarrow\infty} \dfrac{c_n-1}{a_n}=\lim_{n\rightarrow\infty} \dfrac{b_n}{a_n}-\Big(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Big)$
ดังนั้น $\lim_{n\rightarrow\infty} \dfrac{b_n}{a_n}=1-1/\sqrt 2$