ตอนที่ 3
26. กำหนดให้ $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ เป็นลำดับของจำนวนเต็มบวกเรียงติดกันที่มากกว่า $1$ พจน์ (เช่น $78,79,80,81,82$) ถ้าผลรวมของพจน์ในทุกพจน์ในลำดับเท่ากับ $2012$ แล้ว ค่าของ $a_1$ เท่ากับเท่าใด
27. โจทย์ไม่สมบูรณ์ ยกผลประโยชน์ให้ผู้เข้าสอบ
28. มีไม้ขีดไฟ $10$ ก้านที่มีความยาว $1,2,\ldots ,10$ หน่วย ตามลำดับ สุ่มหยิบไม้ขีดมา $3$ ก้าน จงหาความน่าจะเป็นที่ไม้ขีดทั้งสามก้านสามารถประกอบเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมป้านได้
29. ให้ $S$ เป็นอาณาบริเวณที่ปิดล้อมด้วยกราฟ $y=x(1-x)$ กับแกน $x$ จงหาค่า $m$ ทั้งหมดที่ทำให้เส้นตรง $y=mx$ แบ่ง $S$ เป็น $2$ ส่วนโดยที่แต่ละส่วนมีพื้นที่เท่ากัน
30.กำหนดให้ $A,B$ และ $C$ เป็นสับเซตของ $\{1,2,\ldots ,12\}$ โดยที่ $A\cap B\cap C=\{1\}$ , จำนวนสมาชิกของ $A,B$ และ $C$ มีค่าเท่ากัน และสอดคล้องกับสมบัติต่อไปนี้
(1) $\forall a\in A$ $\exists b\in B, a\mid b$
(2) $\forall b\in B$ $\exists c\in C, b\mid c^2$
(3) $\forall c\in C$ $\exists a\in A, c^2\mid a^3$
ในบรรดาเซต $A$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ $A$ มีผลบวกสมาชิกทั้งหมดมากที่สุดเท่ากับเท่าใด
31. กำหนดให้ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้สมการ $asin(x-\frac{\pi}{4})+bsinx+csin(x+\frac{\pi}{4})=0$ มีคำตอบอย่างน้อยสองค่าในช่วง $(0,\pi)$ จงหาสามสิ่งอันดับ $(a,b,c)$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้เมื่อ $a$ เป็นจำนวนเต็ม และ $1<b<5$
32. กำหนดให้ $A=\{(2x,2y)\in\mathbb{R}^2\mid\log_x (log_y x)>0\}$ และ $B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\mid x\mid+\mid y\mid<2555$ และ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็ม $\}$ จงหาจำนวนสมาชิกของ $A\cap B$
33. กำหนดให้ $x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$ เป็นลำดับอนันต์ของจำนวนจริงในช่วง $[0,3]$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $\frac{x_n}{\sqrt{x_{n+1}+3}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}$ ทุก $n=1,2,3,\ldots$ ค่าของ $x_{2555}$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้เท่ากับเท่าใด
34. สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ กำหนดให้ $[x]$ เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งมีค่าไม่เกิน $x$ จงหาว่า มีจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดกี่จำนวนซึ่งทำให้ $\sum_{j=1}^{2555}[2^{-j}n] =n-1$
35. สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก $n$ กำหนดให้ $a_n=$ จำนวนจริงที่มีค่ามากที่สุดที่ทำให้เส้นตรง $y=a_nx$ ตัดกราฟ $y=sin x$ ทั้งหมด $4n+1$ จุด จงหาค่าของ $\lim_{n\rightarrow\infty} na_n$
ข้อสอบชุดนี้เป็นลิขสิทธิ์ตามกฏหมายของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทย ในพระบรมราชูปถัมภ์ ห้ามคัดลอกหรือทำสำเนาซ้ำ เฉลย และจำหน่ายโดยเด็ดขาด
|