คำตอบของคำถามนี้ไม่ยากแต่ยาวครับ อาจพิมพ์ไม่หมดทุกรายละเอียด สงสัยหรือมีข้อเสนอแนะตรงไหนบอกกันได้นะครับ
(ขอใช้รูปนี้ในการอธิบาย)
จากรูปด้านบน ให้ k แทนผลรวมของตัวเลขในแต่ละวงกลม เราจะแบ่งขั้นตอนการหาคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด(ไม่รวมสมมาตร)ได้ 2 ขั้นตอนใหญ่ๆดังนี้
1. หาค่า k ที่เป็นไปได้ แล้วเขียน k ในรูปของผลบวกของเลขโดดสองตัว
2. ทดลองแทนค่า แล้วกำจัด k ที่ไม่สอดคล้องตามเงื่อนไข
1. หาค่า k ที่เป็นไปได้ แล้วกำจัด k ที่ไม่สอดคล้องตามเงื่อนไข
1.1 จากรูปด้านบนจะได้ a+b+c+d+e+f+g+h+i=1+2+...+9=45=5k-(d+e+f+g) หรือ 5k-45=d+e+f+g นั่นคือ 5|(d+e+f+g) (หมายถึง 5 หาร d+e+f+g ลงตัว)
ค่าต่ำสุดและสูงสุดที่เป็นไปได้ของ d+e+f+g คือ 1+2+3+4=10 และ 6+7+8+9=30 ซึ่งหมายถึง k=11,12,13,14,15 (ลองทดดูนะครับว่าทำไม)
1.2 เขียน k ในรูปของผลบวกของเลขโดดสองตัว(ไม่รวมการสลับที่)
15=9+6=8+7
14=9+5=8+6
13=9+4=8+5=7+6
12=9+3=8+4=7+5
11=9+2=8+3=7+4=6+5
2. พิจารณา k ทีละตัว แล้วกำจัด k ที่ไม่สอดคล้องทิ้ง ดังนี้
k=15: จากรูปจะได้ 45-2k=15=b+e+f+h+i >b+e+f=15 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ
k=14: จากรูปจะได้ b+e+f+h+i=45-2(14)=17 และ b+e+f=14 ดังนั้น h+i=3 นั่นคือ h=1,i=2 หรือ h=2,i=1
กรณีแรก ให้ h=1, i=2
หาก a=9, d=5 จะได้ว่า (c,g)=(8,6) หรือ (6,8) และจะได้ e=14-d-h=14-5-1=8 เกิดเลขซ้ำ กรณีนี้จึงเป็นไปไม่ได้
หาก a=5, d=9 จะได้ e=4 แต่ g=6 ไม่ได้เพราะจะทำให้ f=6 หาก g=8 จะได้ f=4=e ซึ่งเป็นไปไม่ได้
กรณีหลัง ให้ h=2, i=1
หาก a=9, d=5 จะได้ e=7 แต่ g=6 ไม่ได้เพราะจะทำให้ f=7 หาก g=8 จะได้ f=5=d ซึ่งเป็นไปไม่ได้
หาก a=5, d=9 จะได้ e=3 แต่ g=8 ไม่ได้เพราะจะทำให้ f=5 หาก g=6 จะได้ c=8, f=7 และ b=4 เป็นคำตอบสำหรับ k=14 (สังเกตดัวยว่าหากหมุนรูป จะได้คำตอบอีกชุด)
k=13: จากรูปจะได้ b+e+f+h+i=45-2(13)=19 และ b+e+f=13 ดังนั้น h+i=6=5+1=4+2
ไม่ว่าจะเลือก {h,i}={5,1} หรือ {h,i}={4,2} จะได้ว่ามีเลขซ้ำอย่างน้อยหนึ่งตัวกับเลขใน a,d,c,g เสมอ เพราะเราต้องเลือกเลขสองในสามชุดจากที่คิดไว้ใน 1.2 ดังนั้นกรณีนี้จึงเป็นไปไม่ได้
k=12: ในทำนองเดียวกับด้านบนจะได้ h+i=9=8+1=7+2=6+3=5+4 เราแจงกรณีต่อได้ดังนี้
$\begin{array}{lll}
(a+d)+(c+g) & h+i ที่เป็นไปได้ & เลขที่เหลือ\\
(9+3)+(8+4) & 7+2 & 1,5,6\\
(9+3)+(7+5) & 8+1 & 2,4,6\\
(8+4)+(7+5) & 6+3 & 1,2,9\\
\end{array}$
โดยการแจงกรณีในลักษณะเดียวกันกับเมื่อ k=14 จะได้ว่าไม่มีกรณีใดเลยสอดคล้อง
k=11: ในทำนองเดียวกับด้านบนจะได้ h+i=12=9+3=8+4=7+5
$\begin{array}{lll}
(a+d)+(c+g) & h+i ที่เป็นไปได้ & เลขที่เหลือ\\
(9+2)+(8+3) & 7+5 & 1,4,6\\
(9+2)+(7+4) & - & - \\
(9+2)+(6+5) & 8+4 & 1,3,7\\
(8+3)+(7+4) & - & - \\
(8+3)+(6+5) & - & - \\
(7+4)+(6+5) & 9+3 & 1,2,8\\
\end{array}$
โดยการแจงกรณีในลักษณะเดียวกันกับเมื่อ k=14 จะได้ว่า (a,b,c,d,e,f,g,h,i)=(5,4,8,9,3,7,6,2,1) เป็นคำตอบสำหรับ k=11 (สังเกตดัวยว่าหากหมุนรูป จะได้คำตอบอีกชุด)
สรุป: k=11,14 ทำให้แผนผังนี้มีคำตอบที่สอดคล้องตามเงื่อนไขที่ให้
edit: เพิ่มรูปและแก้คำผิด