[Thgx0312555]

2 ::
Lemma ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ $n \in \mathbb{N}$ ถ้า $p \equiv 3 \pmod 4$ แล้ว $p \nmid (n^2+1)$

Proof

Let $p=4k+3$ and $p \ | \ (n^2+1)$
FLT; $n^{4k+3} \equiv n \pmod p$
$n^{4k+4} \equiv n^2 \pmod p$

จาก $p \ | \ (n^2+1)$
$p \ | \ (n^4-1)$
$n^{4k+4} \equiv 1 \pmod p$

$\therefore n^2 \equiv 1 \pmod p$
ซึ่งไปแทนค่ากลับจะขัดแย้งกับ $p=4k+3$ and $p \ | \ (n^2+1)$

สมมติมี $a,b,k \in \mathbb{N}$ ซึ่ง $4ab-a-b=k^2$
จัด...
$(4a-1)(4b-1)=(2k)^2+1$
โดย Lemma ถ้ามี prime $p$ ซึ่ง $p \ | \ (4a-1)(4b-1)$ แล้ว $p=2$ หรือ $p \equiv 1 \pmod 4$
Its clear that $p \not= 2$
จำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดซึ่งหาร $(4a-1)(4b-1)$ ลงตัวต้องสอดคล้องกับ $p \equiv 1 \pmod 4$

ส่งผลให้จำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดซึ่งหาร $4a-1$ ลงตัวต้องสอดคล้องกับ $p \equiv 1 \pmod 4$ ด้วย
$\because 4a-1 \not= 1$
$4a-1$ เขียนได้ในรูปผลคูณจำนวนเฉพาะ $p$ ซึ่ง $p \equiv 1 \pmod 4$

$4a-1 \equiv 1 \pmod 4$
...ซึ่งขัดแย้ง

จึงไม่มี $(m,n)$ ซึ่ง $4mn-m-n$ is a perfect square Q.E.D