1.พิสูจน์ว่า $4ab-1 \mid (4a^2-1)^2$ ก็ต่อเมื่อ $4ab-1 \mid (a-b)^2$ (พิสูจน์ทั้งไปและกลับ)
2.สมมติ $a,b$ ไม่เท่ากัน
3.$S=\left\{\,(x,y) | x,y \in \mathbb{N} \wedge \frac{(x-y)^2}{4xy-1}=k \right\}$ และ $(a,b) \in S$
4.$T=\left\{\,x+y | (x,y) \in S\right\}$
5.$S,T$ ไม่เป็นเซตว่าง
6.$T$ มีสมาชิกน้อยสุด ให้ $(A,B) \in S$ สมมติ $A+B$ เป็นสมาชิกน้อยสุด WLOG $A > B$
7.จาก 3 ได้ $\frac{(x-B)^2}{4xB-1}=k$ จะได้ $x^2-(2B+4kB)x+B^2+k=0$ สมมติให้มีรากเป็น $s,t$ และ $s \geq t$
8. ใช้ความสัมพันธ์ของราก-สัมประสิทธิ์ $s+t=... , st=...$ และ $(s,B),(t,B) \in S$
9. $(A,B) \in S$ จะได้ $\frac{(A-B)^2}{4AB-1}=k$ ได้ $A$ เป็นราก $x^2-(2B+4kB)x+B^2+k=0$
10. จะได้ $A=s$ หรือ $A=t$ ซึ่งพิสูจน์ต่อว่าเป็นไปไม่ได้ (ใช้ความที่ $A+B$ น้อยสุดมาหาข้อขัดแย้งครับ)
Cr. อ.ดำรง
