ข้อ 2 สร้างเอกลักษณ์มาทอนอสมการก่อนครับ
$\frac{a^3-b^3}{a+b}+\frac{b^3-c^3}{b+c}+\frac{c^3-a^3}{c+a}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
$\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}$
อสมการเปลี่ยนรูปเป็น
$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}| \leq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4(ab+bc+ca)}$
ให้ $p=a+b+c$ และ $q=ab+bc+ca$
ดูทางฝั่งขวา $|3-2(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})| \leq |3-\frac{p^2}{p^2-q}|$ โดยโคชี
แต่ว่า $p^2-q \leq 3p^2-7q$ ดังนั้นต้องพิสูจน์ว่า $|3-\frac{2p^2}{3p^2-7q}| \leq \frac{p^2-3q}{4q}$
ยกกำลังสอง $\frac{(p^2-3q)^2}{16q^2}+\frac{12p^2}{3p^2-7q}-\frac{4p^4}{(3p^2-7q)^2}-9 \geq 0$
กระจาย $\frac{9p^8-96p^6q+894p^4q^2-2016p^2q^3+441q^4-81p^4+378p^2q-441q^2}{16q^2(3p-7q)^2}$
อสมการ Homogeneous Normalize ให้ $q=ab+bc+ca=1$ จะได้ว่า $p^2 \geq 3$ หรือ $p \geq \sqrt{3}$
พิจารณาตัวส่วนจะได้ $3p^2(3p^6-32p^4+271p^2-546) \geq 0$ จริงจาก $p \geq \sqrt{3}$
อันที่จริงแล้วอสมการข้อนี้ผมคิด 8 ชั่วโมง+กระดาษทด 10 แผ่น บทพิสูจน์จะสวยหรือไม่ขึ้นอยู่กับการ bound ค่าตรงบรรทัดสีแดง แต่ผมไม่ทำแล้วล่ะครับ เหนื่อย เอาถึกแบบนี้แหละ
เสนห์อสมการมันไม่ได้อยู่ที่บทพิสูจน์แบบที่ผมโพสต์ไปหรอกนะครับ
วีธีสวยๆดีๆ มีอีกเยอะ
