[จูกัดเหลียง]

กว่าจะได้ครับ = = คิดเเบบข้ามวันคืน 555

Kak Soln

ให้ $a=xy+yz+zx$กระจายโลด ได้ว่าต้องการเเสดงว่า $$(xyz)^2+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+4(x^2+y^2+z^2)+8\ge 9(xy+yz+zx)=9a$$
พิจารณา $$L.H.S=3(x^2+y^2+z^2)+(xyz)^2+(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+(x^2+y^2+z^2)+8$$
$$\ge \Big(x^2y^2z^2+\dfrac{(x+y+z)^2}{9}\Big)+\dfrac{8}{3}a+a+8+2\sum_{cyc} x^2y^2\ge \frac{1}{3}\Big(2xyz(x+y+z)+\sum_{cyc} x^2y^2\Big)+\frac{5a^2}{9}+\frac{11a}{3}+8=\frac{8a^2}{9}+\frac{11a}{3}+8$$
จึงเพียงพอที่จะเเสดงว่า $\dfrac{8a^2}{9}+\dfrac{11a}{3}+8\ge 9a\leftrightarrow (a-3)^2\ge 0$