อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver
ข้อ 2 สร้างเอกลักษณ์มาทอนอสมการก่อนครับ
$\frac{a^3-b^3}{a+b}+\frac{b^3-c^3}{b+c}+\frac{c^3-a^3}{c+a}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
|
เปลี่ยนรูปสมการได้
$\dfrac{|(a-b)(b-c)(c-a)|(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4}$
แต่เราพิสูจน์ได้โดยง่าย $\dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca) \leq (a+b)(b+c)(c+a)$ (ใน FFTMO9 ก็มี)
และ WLOG $a\geq b\geq c$ จะได้
$\dfrac{(a-b)(a-c)(b-c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq \dfrac{9(a-b)(a-c)(b-c)}{8(a+b+c)}$
เรายังคงต้องพิสูจน์ว่า
$(a-b)(a-c)(b-c) \leq \dfrac{2}{9} (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
โดย AM-GM กลายเป็นว่าเราต้องสูจน์
$(a-b)(a-c)(b-c) \leq \dfrac{8}{27}(a+b+c)^3$
เห็นได้ชัดว่าจริง ทำให้เราได้
$|\dfrac{a^3-b^3}{a+b}+\dfrac{b^3-c^3}{b+c}+\dfrac{c^3-a^3}{c+a}| < \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4}$
เหลือแค่กรณีที่เท่ากับ ก็เท่ากับเมื่อ a=b=c ดังนั้น
$$|\dfrac{a^3-b^3}{a+b}+\dfrac{b^3-c^3}{b+c}+\dfrac{c^3-a^3}{c+a}| \leq \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4}$$