อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PURE MATH
$$1. A\subseteq B ก็ต่อเมื่อ A\cup B = B$$
|
ตัวอย่างนะครับ. (ข้อความสีน้ำเงิน เป็นคำรำพึงหรือแนวคิดในใจ ให้อ่านในใจครับ.)
การพิสูจน์ขาไป สมมติให้ $A \subseteq B$ จะแสดงว่า $A \cup B = B$
(การจะพิสูจน์ว่า $A \cup B = B$ ก็ต้องแสดงให้ได้ว่า $A \cup B \subseteq B$ และ $B \subseteq A \cup B$)
จะแสดงว่า $A \cup B \subseteq B$ ก่อน ดังนี้
ให้ $x \in A \cup B$ ดังนั้นโดยนิยามของยูเนียน จะได้ว่า $x \in A$ หรือ $x \in B$
และเนื่องจากเราสมมติให้ $A \subseteq B $ แสดงว่า $x \in B$
นั่นคือเราได้แสดงว่าแล้ว "ถ้า $x \in A \cup B$ แล้ว $x \in B$"
จึงสรุปได้ว่า $A \cup B \subseteq B ... (1)$
ต่อไปจะแสดงว่า $B \subseteq A \cup B$ (ซึ่งไม่ต้องแสดง)
และเป็นจริงอยู่แล้วโดยนิยามว่า $B \subseteq A \cup B ... (2)$
หรือถ้าจะพิสูจน์ ก็ใช้นิยามเขียนอีก 1 บรรทัด
จาก (1) และ (2) สรุปได้ว่า
$A \cup B = B$
====================================
การพิสูจน์ขากลับ สมมติให้ $A \cup B = B$ จะแสดงว่า $ A \subseteq B$
ให้ $x \in A$ แล้วจะได้ว่า $x \in A \cup B$ แต่เนื่องจากเราสมมติให้ $A \cup B = B$
แสดงว่าจะได้ $x \in B$
นั่นก็คือ เราได้แสดงแล้วว่า "ถ้า $x \in A$ แล้ว $x \in B$ " จึงสรุปโดยนิยามได้ว่า
$A \subseteq B$
=======================
จากขาไปและขากลับ จึงสรุปได้ว่า $$1. A\subseteq B ก็ต่อเมื่อ A\cup B = B$$