อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lekkoksung
ถ้าเรามีฟังก์ชัน $f : (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}$ นิยามโดย
$$f(x)= \dfrac{x}{1-|x|}$$
ช่วยโชว์หน่อยครับว่า $f$ เป็น 1-1, onto และ $f, f^{-1}$ ต่อเนื่อง
|
พิสูจน์ว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1
ต้องแสดงว่า
$y_1=y_2\rightarrow x_1=x_2 $
$ \equiv x_1\not= x_2\rightarrow y_1\not= y_2$
$x_1\not= x_2$
กรณี $x_1=-x_2$
$$x_1-x_2=2x_1$$
$$x_1\left|x_2\,\right| -x_2\left|\,x_1\right| _=2x_1\left|\,x_2\right| $$
ดังนั้น
$$x_1-x_2\not= x_1\left|x_2\,\right| -x_2\left|\,x_1\right| $$
$$x_1(1-\left|\,x_2\right| )\not= x_2(1-\left|\,x_1\right| )$$
$$\frac{x_1}{1-\left|\,x_1\right| } \not= \frac{x_2}{1-\left|\,x_2\right| } $$
$$y_1\not=y_2$$
กรณี $x_2\not= -x_1$
สมมติ $x_1>x_2$
$x_1-x_2>0$
ถ้า $ x_1\geqslant 0 $ และ $x_2\geqslant 0 $ แล้ว $ x_1\left|x_2\,\right| -x_2\left|\,x_1\right| =0$
ถ้า $ x_1 \leqslant 0 $ และ $x_2 \leqslant 0 $ แล้ว $ x_1\left|x_2\,\right| -x_2\left|\,x_1\right| =0$
ถ้า $ x_1\geqslant0 $ และ $x_2 \leqslant 0 $ ให้ $x_1=a $ $x_2=-b ; a,b\in [0,1)$
แล้ว $ x_1\left|x_2\,\right| -x_2\left|\,x_1\right| =2ab$
แต่ $x_1-x_2=a+b$
จากอสมการ AM GM
$\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab} \not= ab$
จะได้ว่า
ถ้า $ x_1>0 $ และ $x_2<0 $ แล้ว $ x_1\left|x_2\,\right| -x_2\left|\,x_1\right| \not= x_1-x_2 $
$$x_1-x_2\not= x_1\left|x_2\,\right| -x_2\left|\,x_1\right| $$
$$x_1(1-\left|\,x_2\right| )\not= x_2(1-\left|\,x_1\right| )$$
$$\frac{x_1}{1-\left|\,x_1\right| } \not= \frac{x_2}{1-\left|\,x_2\right| } $$
$$y_1\not=y_2$$
ดังนั้น f เป็นฟังก์ชัน 1-1