ข้อนี้คิดได้หลายอย่างแล้วแต่ระดับความรู้ครับ.
เอาแบบนี้ล่ะกันลองดู
จากสมการที่ตั้งไว้แล้วนั้น จะได้ว่า 5a + 3 = 8b + 5 หรือ 5a = 8b + 2
จะเห็นได้ว่า 5a เป็นจำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว ดังนั้น 8b + 2 ก็จะต้องเป็นจำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว
แต่เรารู้ว่า จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัวนั้น จะต้องมีหลักหน่วยเป็น 0 หรือ 5
แสดงว่า 8b จะต้องเป็นจำนวนที่หลักหน่วยมีค่าเป็น 3 หรือ 8
จากการท่ิิองสูตรคูณตั้งแต่ 8 หนึ่ง 8, 8 สอง 16 , ... จะพบว่า ไม่มีเลยที่หลักหน่วยลงท้ายด้วย 3
จากการท่ิิองสูตรคูณตั้งแต่ 8 หนึ่ง 8, 8 สอง 16 , ... จะพบว่า มีจำนวนที่หลักหน่วยลงท้ายด้วย 8 ซึ่งก็คือ 8, 48, 88, 128, .... (ใ้้ห้สังเกตว่ามันเพิ่มทีละ 40 ซึ่งเป็น ค.ร.น. ของ 8 กับ 5)
แสดงว่า 8b = 8, 48, 88, 128, ...
หรือ b = 1, 6, 11, 16, ... (ให้สังเกตว่ามันเพิ่มทีละ 5 ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ของ 5a)
ต่อมาก็มาลองจับสมการ 8b + 5 = 13c + 11 กันบ้าง ก็จะได้ 13c = 8b - 6
จะเห็นว่า 13c หารด้วย 13 ลงตัว ดังนั้น 8b - 6 จะหารด้วย 13 ลงตัวด้วย
ลองนั่งหาค่า b ที่ทำให้ 8b - 6 หารด้วย 13 ลงตัว ก็จะพบว่าจำนวนเต็มบวก b ตัวแรกที่น้อยที่สุด คือ b = 4 (เพราะ 8 คูณ 4 - 6 = 26)
เราก็จะได้ว่า b ที่้เป็นไปได้ตัวต่อๆไป คือ b = 4, 17, 30, .... (เพิ่มทีละ 13 ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ของ 13b)
สรุปแล้วเราก็จะมีว่า
เมื่อจับสมการ 5a + 3 = 8b + 5 หรือ 5a = 8b + 2 นั้น จะได้ว่า b = 1, 6, 11, 16, ...
ส่วนเมื่อจับสมการ 8b + 5 = 13c + 11 หรือ 13c = 8b - 6 นั้น จะได้ว่า b = 4, 17, 30, ...
b ที่เราต้องการ จะต้องสอดคล้องกับทั้งสองแบบ เมื่อลองแข็งใจสักนิด
นั่งเขียนพจน์ถัดไปเรื่อย ก็จะเจอ b ตัวแรกในที่สุด คือ b = 56
b = 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51,
56, ...
b = 4, 17, 30, 43,
56, ...
เมื่อรู้ b ตัวน้อยสุดแล้ว ตัวถัดๆไป ก็หาไม่ยาก
โดยบวกด้วย ค.ร.น ของ 5 กับ 13 ซึ่งคือ 65 กล่าวคือ b ตัวถัดไป คือ 56 + 65 = 121, 56 + 65 + 65 = 186, ....
แต่โจทย์เขาต้องการ p ที่มากสุด แต่ไม่เกิน 1000 จะพบว่า ถ้าแทน b = 56 ลงใน p = 8b + 5 ก็จะได้ p แค่ 453 แต่ถ้าแทน b = 121 ก็จะได้ว่า p = 8(121) + 5 = 973 ตามที่ต้องการในที่สุด
