[แม่ให้บุญมา]

12. ให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวก และ $ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \in \mathbb{Z} $ พิสูจน์ abc เป็นกำลังสามสมบูรณ์

ถ้าให้ (a,b) =p,(b,c) =q, (c,a)=r ,(a,b,c)=k
จะได้ในรูป a=kpr ,b=kpq, c=kqr
จะได้ abc=k³(pqr)²
ถ้าพิสูจน์ได้ว่า (pqr)² เป็นจำนวนเต็มยกกำลัง 3 ได้ก็ ok
a/b+b/c+c/a= (a²c+ab²+c²a)/abc
=r/q+p/r+q/p=(r²p+qp²+q²r)/pqr

คงต้องหาความสัมพันธุ์ระหว่างค่า a, b, c หรือ p, q, r
ที่จะทำให้ผลบวกนั้นเป็นจำนวนเต็มด้วย ช่วยทำต่อด้วยครับ