ข้อ 1
จากรูป ให้ $r$ เป็นรัศมีวงกลม $O$, $R$ เป็นรัศมีวงกลม $P$
สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า
$\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{r}{R}$
ลากเส้นจาก $A,P$ มาตั้งฉากกับ $AC$ ที่ $H,I$ ตามลำดับ
เพื่อความง่ายต่อการเขียนจะเขียนแทน $a=1006$
สมมติ $BH=x$
พิจารณา $AH^2=AB^2-BH^2=AC^2-HC^2$
$(2a-1)^2-x^2=(2a+1)^2-(2a-x)^2$
$2a(2a-2x)=8a$
$x=a-2$
$AH^2=AB^2-BH^2=(2a-1)^2-x^2=(2a-1)^2-(a-2)^2$
$AH^2=(a+1)(3a-3)=3a^2-3$
หาค่า $R$ ออกมาจะได้ $R=\dfrac{4a^2-1}{2\sqrt{3a^2-3}}$
$AQ^2=AP^2-HI^2=AP^2-(BI-BH)^2=R^2-4=\dfrac{(4a^2-1)^2}{4(3a^2-3)}-4=\dfrac{(4a^2-7)^2}{4(3a^2-3)}$
$\dfrac{AQ^2}{AH^2}=\dfrac{(4a^2-7)^2}{4(3a^2-3)^2}$
$\dfrac{AQ}{AH}=\dfrac{4a^2-7}{2(3a^2-3)}$
$\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{4a^2-7}{2(3a^2-3)}$
แต่ $AP=R, AD=2r$
$\dfrac{R}{r}=\dfrac{4a^2-7}{3a^2-3}$
$\therefore EF = \dfrac{r}{R}\times BC = \dfrac{2a(3a^2-3)}{4a^2-7} = \dfrac{678738140}{449793}$
ตัวเลขไม่ค่อยสวยเลย แต่วิธีทำก็น่าจะประมาณนี้ครับ